Normalparabel: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | Hier lernt ihr Grundlagen der Normalparabel und deren Verschiebung. | ||
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| − | Eine | + | Eine Funktion mit der Gleichung f(x)=ax<sup>2</sup>+bx+c wird in der Mathematik als quadratische Funktion bezeichnet. Der Graph einer beliebigen quadratischen Funktion, den man auch als quadratische Parabel bezeichnet, lässt sich durch Verschiebungen und Streckungen aus dem Graphen der einfachsten aller quadratischen Funktion gewinnen, der Funktion f(x)=x<sup>2</sup>. |
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| + | Eine Normalparabel ist eine Parabel, die mit der Funktionsgleichung f(x)=x<sup>2</sup> beschrieben wird. Den Schnittpunkt von Symmetrieachse und Parabel bezeichnet man als Scheitelpunkt der Parabel. In diesem Beispiel ist das der Punkt S(0/0). | ||
| + | Der Scheitelpunkt der Funktion liegt im Koordinatenursprung. Der Graph der Parabel ist symmetrisch zur y-Achse. | ||
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Die Normalparabel wird um 3 Einheiten in Richtung der positiven y-Achse verschoben. Der verschobene Graph definiert eine Funktion g. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von g. | Die Normalparabel wird um 3 Einheiten in Richtung der positiven y-Achse verschoben. Der verschobene Graph definiert eine Funktion g. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von g. | ||
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Jeder Funktionswert wird um drei erhöht. | Jeder Funktionswert wird um drei erhöht. | ||
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Die Normalparabel wird um zwei Einheitem in Richtung der positiven x-Achse verschoben. Wie lautet die Gleichung der so entstandenen Parabel g? | Die Normalparabel wird um zwei Einheitem in Richtung der positiven x-Achse verschoben. Wie lautet die Gleichung der so entstandenen Parabel g? | ||
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g besitzt an der Stelle x den gleichen Funktionswert, den f an der Stelle x-2 hat, das heißt g(x)=f(x-2). | g besitzt an der Stelle x den gleichen Funktionswert, den f an der Stelle x-2 hat, das heißt g(x)=f(x-2). | ||
Resultat: g(x)=(x-2)<sup>2</sup>. | Resultat: g(x)=(x-2)<sup>2</sup>. | ||
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Die Normalparabel soll so verschoben werden, dass ihr Scheitelpunkt bei S(2/3) liegt. Wie lautet nun die Gleichung der Funktion g? | Die Normalparabel soll so verschoben werden, dass ihr Scheitelpunkt bei S(2/3) liegt. Wie lautet nun die Gleichung der Funktion g? | ||
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Verschiebung der Normalparabel um 2 in x-Richtung führt auf die Parabel g<sub>1</sub>(x)=(x-2)<sup>2</sup> mit dem Scheitel S(2/0). Verschiebung von g<sub>1</sub> um 3 in y-Richtung ergibt die Parabel g(x)=(x-2)<sup>2</sup>+3 mit dem Scheitelpunkt S(2/3). | Verschiebung der Normalparabel um 2 in x-Richtung führt auf die Parabel g<sub>1</sub>(x)=(x-2)<sup>2</sup> mit dem Scheitel S(2/0). Verschiebung von g<sub>1</sub> um 3 in y-Richtung ergibt die Parabel g(x)=(x-2)<sup>2</sup>+3 mit dem Scheitelpunkt S(2/3). | ||
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Wir können auch die Formel der Funktion verallgemeinern: | Wir können auch die Formel der Funktion verallgemeinern: | ||
| − | Graph von g(x)=(x-x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>y<sub>s ist eine Parabel, die aus der Normalparabel durch Verschiebung um x<sub>s | + | Graph von g(x)=(x-x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>+y<sub>s</sub> ist eine Parabel, die aus der Normalparabel durch Verschiebung um x<sub>s</sub> längs der x-Achse und um y<sub>s</sub> längs der y-Achse entsteht. x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub> sind die Koordinaten des Scheitelpunktes. |
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| + | Beschreiben Sie, wie sich der Graph von g(x)=2x<sup>2</sup> aus dem Graphen der Normalparabel f(x)=x<sup>2</sup> gewinnen lässt. | ||
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| + | Der Funktionswert von g ist zweimal so groß wie der Funktionswert von f: g(x)=2x<sup>2</sup>=2*f(x). | ||
| + | Es handelt sich um eine Streckung mit dem Faktor in 2 y-Richtung. Der Graph von g ist schlanker als derjenige von f. | ||
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| + | =Applet zur Erforschung von Verschiebungen der Normalparabel= | ||
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| + | '''[[Benutzer:1905GS1905|1905GS1905]] hat hier gut gearbeitet. Nun fehlt von [[Benutzer:Galata1905|Galata1905]] noch eine Beschreibung des Applets und Aufgabenformulierungen zum Applet.''' --[[Benutzer:A.Hoffkamp|A.Hoffkamp]] ([[Benutzer Diskussion:A.Hoffkamp|Diskussion]]) 09:50, 19. Feb. 2014 (CET) | ||
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| + | Hier das Geogebra-Applet: | ||
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| + | In unserem Applet haben wir für euch zwei verschiedene Parabeln dargestellt. Die grüne Parabel (g) ist die Normalparabel. Die zweite schwarze (f) ist die Parabel die ihr spiegeln, verschieben, stauchen und strecken könnt. An der seite des Applets sieht man drei verschieden farbige Schieberegler. Diese könnt ihr benutzen um die f Parabel zu verändern. Beim verändern bemerkt ihr sicherlich auch wie sich die darunter liegende Formel verändert. Mit dem roten Schieberegler a könnt ihr die Parable strecken, stauchen und spiegeln. | ||
Aktuelle Version vom 3. März 2014, 21:37 Uhr
Wird von 1905GS1905 und Galata1905 erstellt.
Galata1905 muss noch einen guten Text mit kleinen Aufgabenstellungen zum Applet ergänzen. --A.Hoffkamp (Diskussion) 12:07, 27. Feb. 2014 (CET)
Hier lernt ihr Grundlagen der Normalparabel und deren Verschiebung.
Inhaltsverzeichnis |
Eine Funktion mit der Gleichung f(x)=ax2+bx+c wird in der Mathematik als quadratische Funktion bezeichnet. Der Graph einer beliebigen quadratischen Funktion, den man auch als quadratische Parabel bezeichnet, lässt sich durch Verschiebungen und Streckungen aus dem Graphen der einfachsten aller quadratischen Funktion gewinnen, der Funktion f(x)=x2.
Die Normalparabel
Eine Normalparabel ist eine Parabel, die mit der Funktionsgleichung f(x)=x2 beschrieben wird. Den Schnittpunkt von Symmetrieachse und Parabel bezeichnet man als Scheitelpunkt der Parabel. In diesem Beispiel ist das der Punkt S(0/0). Der Scheitelpunkt der Funktion liegt im Koordinatenursprung. Der Graph der Parabel ist symmetrisch zur y-Achse.
Achsenparallele Verschiebungen der Normalparabel
Verschiebung längs der y-Achse
Beispiel:
Die Normalparabel wird um 3 Einheiten in Richtung der positiven y-Achse verschoben. Der verschobene Graph definiert eine Funktion g. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von g.
Verschiebung längs der x-Achse
Beispiel:
Die Normalparabel wird um zwei Einheitem in Richtung der positiven x-Achse verschoben. Wie lautet die Gleichung der so entstandenen Parabel g?
Verschiebung längs beider Achsen
Beispiel:
Die Normalparabel soll so verschoben werden, dass ihr Scheitelpunkt bei S(2/3) liegt. Wie lautet nun die Gleichung der Funktion g?
Wir können auch die Formel der Funktion verallgemeinern:
Graph von g(x)=(x-xs)2+ys ist eine Parabel, die aus der Normalparabel durch Verschiebung um xs längs der x-Achse und um ys längs der y-Achse entsteht. xs und ys sind die Koordinaten des Scheitelpunktes.
Streckung der Normalparabel in y-Richtung
Beispiel:
Beschreiben Sie, wie sich der Graph von g(x)=2x2 aus dem Graphen der Normalparabel f(x)=x2 gewinnen lässt.
Applet zur Erforschung von Verschiebungen der Normalparabel
1905GS1905 hat hier gut gearbeitet. Nun fehlt von Galata1905 noch eine Beschreibung des Applets und Aufgabenformulierungen zum Applet. --A.Hoffkamp (Diskussion) 09:50, 19. Feb. 2014 (CET)
Hier das Geogebra-Applet:
In unserem Applet haben wir für euch zwei verschiedene Parabeln dargestellt. Die grüne Parabel (g) ist die Normalparabel. Die zweite schwarze (f) ist die Parabel die ihr spiegeln, verschieben, stauchen und strecken könnt. An der seite des Applets sieht man drei verschieden farbige Schieberegler. Diese könnt ihr benutzen um die f Parabel zu verändern. Beim verändern bemerkt ihr sicherlich auch wie sich die darunter liegende Formel verändert. Mit dem roten Schieberegler a könnt ihr die Parable strecken, stauchen und spiegeln.
