Zwei-Punkte-Form: Unterschied zwischen den Versionen

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==Funktionsgleichung erstellen==
 
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Wie kann man aus zwei gegebenen Punkten eine Funktionsgleichung erstellen ?
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Eine Gerade oder eine Lineare Funktion hat die Formel <math>\color{red}f(x)=y=mx+n</math> .
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Die Variablen m und b sind unbekannt. Um die Variablen zu bestimmen benötigen wir 2 Punkte. Somit werden zwei Gleichungen aufgestellt, man erhält ein lineares Gleichungssystem, welches gelöst wird, um die Parameter m und b zu bestimmen.
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Dies zeigen wir anhand verschiedener Beispiele:
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Beispiel 1:
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Die Gerade durch die Punkte A (0/3) = <math>\color{green}(x_0/y_0)</math>  und B (2/0) = <math>\color{green}(x_1/y_1)</math> hat die Gleichung <math>\color{blue}f(x)=m(x-x_0)+y_0</math> mit:
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<math>\color{green}m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}</math>
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<math>m=\frac{0-3}{2-0}</math>
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<math>m=\frac{-3}{2}=-1,5</math>
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{{Merke|Hier ist man schon fertig. Denn die Geradengleichung ist nun <math>f(x)=-1,5x+3</math>. Man muss also nicht mehr weiterrechnen. Klar? --[[Benutzer:A.Hoffkamp|A.Hoffkamp]] ([[Benutzer Diskussion:A.Hoffkamp|Diskussion]]) 10:25, 19. Mär. 2014 (CET)}}
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<math>f(x)=-1,5x+3  /-3</math>
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<math>-3=-1,5x  /:(-1,5)</math>
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<math>x=2</math>
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Noch eine Möglichkeit aus zwei Punkten eine Geradengleichung zu bestimmen, ist es zunächst die Koordinaten der Punkte P und Q in die Geradengleichung einzusetzen. Daraus erhalten wir ein lineares Gleichungssystem. Aus diesem können wir m und n berechnen.
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Beispiel:
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So geht man vor
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Wir haben die beiden Punkte P(3/5) und Q(8/20).
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Wir setzen dann die beiden Punkte in <math>\color{red}mx+n=y</math> ein und lösen dann das lineare Gleichungssystem.
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<math>I: m\cdot3+n=5</math>
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<math>II: m\cdot8+n=20</math>
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1. Wir stellen die erste Gleichung nach n um:
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<math>I: m\cdot 3+n=5</math>
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<math>I: n=5-m\cdot 3</math>
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2. Wir setzen diese in die zweite Gleichung ein:
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<math>m\cdot 8+5-m\cdot 3=20</math>
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3. Nun lösen wir die Gleichung nach m auf:
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<math>5\cdot m+5=20    /-5</math>
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<math>5\cdot m=15      /:5</math>
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<math>m=3</math>
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4. m wird in die Gleichung eingesetzt:
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<math>I: m\cdot 3+n=5</math>
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<math>3\cdot 3+n=5</math>
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<math>9+n=5    /-9</math>
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<math>n=-4</math>
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Hier ist ein Lernvideo, wo die Zweipunkteform nochmal genauer erklärt wird:
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== Aufgaben mit Lösungen ==
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'''Aufgabe 1:'''
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a) Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Geraden durch die Punkte P(4/5) und Q(4/7).
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<popup name="Lösung">
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Gegeben: P(4/5), Q(4/7)
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Gesucht: Die Formel <math>f(x)= mx+n</math>
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Rechung: <math>m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}</math>
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<math>m=\frac{7-5}{4-4}</math>
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<math>m=2</math>
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<math>f(x)=m(x-x_0)+y_0</math>
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<math>f(x)=2(x-4)+5</math>
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<math>f(x)=2x-8+5</math>
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<math>f(x)=2x-3</math>
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</popup>
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'''Aufgabe 1:''' b) Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Geraden durch die Punkte P(5/3) und Q(1/-3).
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<popup name="Lösung">
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Gegeben: P(5/3), Q(1/-3)
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Gesucht:Die Formel <math>f(x)= mx+n</math>
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Rechung: <math>m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}</math>
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<math>m=\frac{-3-3}{1-5}</math>
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<math>m=1,2</math>
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<math>f(x)=m(x-x_0)+y_0</math>
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<math>f(x)=1,2(x-5)+3</math>
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<math>f(x)=1,2x-6+3</math>
  
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Wie kann man aus zwei gegebenen Punkte eine Funktionsgleichung erstellen ?
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<math>f(x)=1,2x-3</math>
  
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Eine Gerade oder eine Lineare Funktion hat die Formel f(x)=y=mx+b .
 
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Die Variablen m und b sind unbekannt. Um die Variablen zu bestimmen benötigen wir 2 Punkte. Somit werden zwei Gleichung aufgestellt man erhält ein lineares Gleichungssystem, welches gelöst wird, um die Parameter m und b zu bestimmen.
 
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Dies zeigen wir anhand verschiedene Beispiele:
 
  
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[[Datei:Geradengleichung.PNG|mini|500px|gerade]]
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</popup>

Aktuelle Version vom 19. März 2014, 10:25 Uhr

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Inhaltsverzeichnis


Funktionsgleichung erstellen

Gerade mit Steigung m=-1,5 und y-Achsenabschnitt b=3

Wie kann man aus zwei gegebenen Punkten eine Funktionsgleichung erstellen ?

Eine Gerade oder eine Lineare Funktion hat die Formel \color{red}f(x)=y=mx+n . Die Variablen m und b sind unbekannt. Um die Variablen zu bestimmen benötigen wir 2 Punkte. Somit werden zwei Gleichungen aufgestellt, man erhält ein lineares Gleichungssystem, welches gelöst wird, um die Parameter m und b zu bestimmen. Dies zeigen wir anhand verschiedener Beispiele:


Beispiel 1: Die Gerade durch die Punkte A (0/3) = \color{green}(x_0/y_0) und B (2/0) = \color{green}(x_1/y_1) hat die Gleichung \color{blue}f(x)=m(x-x_0)+y_0 mit:


Lösung:


\color{green}m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}

m=\frac{0-3}{2-0}

m=\frac{-3}{2}=-1,5


\color{blue}f(x)=m(x-x_0)+y_0

f(x)=-1,5(x-0)+3

f(x)=-1,5x+3

Nuvola apps kig.png   Merke

Hier ist man schon fertig. Denn die Geradengleichung ist nun f(x)=-1,5x+3. Man muss also nicht mehr weiterrechnen. Klar? --A.Hoffkamp (Diskussion) 10:25, 19. Mär. 2014 (CET)


f(x)=-1,5x+3 /-3

-3=-1,5x /:(-1,5)

x=2



Noch eine Möglichkeit aus zwei Punkten eine Geradengleichung zu bestimmen, ist es zunächst die Koordinaten der Punkte P und Q in die Geradengleichung einzusetzen. Daraus erhalten wir ein lineares Gleichungssystem. Aus diesem können wir m und n berechnen.

Beispiel: So geht man vor

Wir haben die beiden Punkte P(3/5) und Q(8/20).

Wir setzen dann die beiden Punkte in \color{red}mx+n=y ein und lösen dann das lineare Gleichungssystem.


I: m\cdot3+n=5

II: m\cdot8+n=20


1. Wir stellen die erste Gleichung nach n um:


I: m\cdot 3+n=5

I: n=5-m\cdot 3


2. Wir setzen diese in die zweite Gleichung ein:


m\cdot 8+5-m\cdot 3=20


3. Nun lösen wir die Gleichung nach m auf:


5\cdot m+5=20 /-5

5\cdot m=15 /:5

m=3


4. m wird in die Gleichung eingesetzt:


I: m\cdot 3+n=5

3\cdot 3+n=5

9+n=5 /-9

n=-4


Hier ist ein Lernvideo, wo die Zweipunkteform nochmal genauer erklärt wird:


Aufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1: a) Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Geraden durch die Punkte P(4/5) und Q(4/7).

Aufgabe 1: b) Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Geraden durch die Punkte P(5/3) und Q(1/-3).

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