Zwei-Punkte-Form: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Merke|Das ist schonmal ein guter Start! Ihr solltet Euch aber ein wenig beeilen, um die Seite weiter aufzubauen. Der Aufbau sollte bestehen aus: Einleitender Text ("Was hier zu lernen ist…."), Inhaltsverzeichnis, einzelne Unterpunkte. Es ist auch möglich mit dem Smartphone einen Film zu drehen, in dem gezeigt wird, wie man aus zwei Punkten die Geradengleichung erhält (dann müsste man das nicht als Text schreiben). --[[Benutzer:A.Hoffkamp|A.Hoffkamp]] ([[Benutzer Diskussion:A.Hoffkamp|Diskussion]]) 12:40, 29. Jan. 2014 (CET)}}
 
 
==Funktionsgleichung erstellen==
 
==Funktionsgleichung erstellen==
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[[Datei:Geradengleichung.PNG|mini|300px|Gerade]]
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[[Datei:Geradengleichung.PNG|mini|300px|Gerade mit Steigung m=-1,5 und y-Achsenabschnitt b=3]]
  
 
Wie kann man aus zwei gegebenen Punkten eine Funktionsgleichung erstellen ?
 
Wie kann man aus zwei gegebenen Punkten eine Funktionsgleichung erstellen ?
  
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Eine Gerade oder eine Lineare Funktion hat die Formel f(x)=y=mx+b .
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Eine Gerade oder eine Lineare Funktion hat die Formel <math>\color{red}f(x)=y=mx+n</math> .
 
Die Variablen m und b sind unbekannt. Um die Variablen zu bestimmen benötigen wir 2 Punkte. Somit werden zwei Gleichungen aufgestellt, man erhält ein lineares Gleichungssystem, welches gelöst wird, um die Parameter m und b zu bestimmen.  
 
Die Variablen m und b sind unbekannt. Um die Variablen zu bestimmen benötigen wir 2 Punkte. Somit werden zwei Gleichungen aufgestellt, man erhält ein lineares Gleichungssystem, welches gelöst wird, um die Parameter m und b zu bestimmen.  
 
Dies zeigen wir anhand verschiedener Beispiele:
 
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Beispiel 1:  
 
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Die Gerade durch die Punkte A (0/3) = <math>(x_0/y_0)</math>  und B (2/0) = <math>(x_1/y_1)</math> hat die Gleichung <math>f(x)=m(x-x_0)+y_0</math> mit
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Die Gerade durch die Punkte A (0/3) = <math>\color{green}(x_0/y_0)</math>  und B (2/0) = <math>\color{green}(x_1/y_1)</math> hat die Gleichung <math>\color{blue}f(x)=m(x-x_0)+y_0</math> mit:
  
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<math>m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}</math>
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<math>f(x)=-1,5x+3  /-3</math>
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Noch eine Möglichkeit aus zwei Punkten eine Geradengleichung zu bestimmen, ist es zunächst die Koordinaten der Punkte P und Q in die Geradengleichung einzusetzen. Daraus erhalten wir ein lineares Gleichungssystem. Aus diesem können wir m und n berechnen.
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Beispiel:
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So geht man vor
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Wir haben die beiden Punkte P(3/5) und Q(8/20).
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Wir setzen dann die beiden Punkte in <math>\color{red}mx+n=y</math> ein und lösen dann das lineare Gleichungssystem.
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<math>I: m\cdot3+n=5</math>
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<math>II: m\cdot8+n=20</math>
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1. Wir stellen die erste Gleichung nach n um:
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<math>I: m\cdot 3+n=5</math>
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2. Wir setzen diese in die zweite Gleichung ein:
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<math>m\cdot 8+5-m\cdot 3=20</math>
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3. Nun lösen wir die Gleichung nach m auf:
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<math>5\cdot m+5=20    /-5</math>
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<math>5\cdot m=15      /:5</math>
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<math>m=3</math>
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4. m wird in die Gleichung eingesetzt:
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<math>I: m\cdot 3+n=5</math>
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<math>3\cdot 3+n=5</math>
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<math>9+n=5    /-9</math>
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<math>n=-4</math>
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Hier ist ein Lernvideo, wo die Zweipunkteform nochmal genauer erklärt wird:
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== Aufgaben mit Lösungen ==
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'''Aufgabe 1:'''
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a) Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Geraden durch die Punkte P(4/5) und Q(4/7).
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<popup name="Lösung">
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Gegeben: P(4/5), Q(4/7)
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Gesucht: Die Formel <math>f(x)= mx+n</math>
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Rechung: <math>m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}</math>
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<math>m=2</math>
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<math>f(x)=m(x-x_0)+y_0</math>
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<math>f(x)=2(x-4)+5</math>
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<math>f(x)=2x-8+5</math>
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<math>f(x)=2x-3</math>
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'''Aufgabe 1:''' b) Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Geraden durch die Punkte P(5/3) und Q(1/-3).
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<popup name="Lösung">
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Gegeben: P(5/3), Q(1/-3)
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Gesucht:Die Formel <math>f(x)= mx+n</math>
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Rechung: <math>m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}</math>
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<math>m=\frac{-3-3}{1-5}</math>
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<math>m=1,2</math>
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<math>f(x)=m(x-x_0)+y_0</math>
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<math>f(x)=1,2(x-5)+3</math>
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<math>f(x)=1,2x-6+3</math>
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<math>f(x)=1,2x-3</math>
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</popup>

Aktuelle Version vom 19. März 2014, 10:25 Uhr

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Inhaltsverzeichnis


Funktionsgleichung erstellen

Gerade mit Steigung m=-1,5 und y-Achsenabschnitt b=3

Wie kann man aus zwei gegebenen Punkten eine Funktionsgleichung erstellen ?

Eine Gerade oder eine Lineare Funktion hat die Formel \color{red}f(x)=y=mx+n . Die Variablen m und b sind unbekannt. Um die Variablen zu bestimmen benötigen wir 2 Punkte. Somit werden zwei Gleichungen aufgestellt, man erhält ein lineares Gleichungssystem, welches gelöst wird, um die Parameter m und b zu bestimmen. Dies zeigen wir anhand verschiedener Beispiele:


Beispiel 1: Die Gerade durch die Punkte A (0/3) = \color{green}(x_0/y_0) und B (2/0) = \color{green}(x_1/y_1) hat die Gleichung \color{blue}f(x)=m(x-x_0)+y_0 mit:


Lösung:


\color{green}m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}

m=\frac{0-3}{2-0}

m=\frac{-3}{2}=-1,5


\color{blue}f(x)=m(x-x_0)+y_0

f(x)=-1,5(x-0)+3

f(x)=-1,5x+3

Nuvola apps kig.png   Merke

Hier ist man schon fertig. Denn die Geradengleichung ist nun f(x)=-1,5x+3. Man muss also nicht mehr weiterrechnen. Klar? --A.Hoffkamp (Diskussion) 10:25, 19. Mär. 2014 (CET)


f(x)=-1,5x+3 /-3

-3=-1,5x /:(-1,5)

x=2



Noch eine Möglichkeit aus zwei Punkten eine Geradengleichung zu bestimmen, ist es zunächst die Koordinaten der Punkte P und Q in die Geradengleichung einzusetzen. Daraus erhalten wir ein lineares Gleichungssystem. Aus diesem können wir m und n berechnen.

Beispiel: So geht man vor

Wir haben die beiden Punkte P(3/5) und Q(8/20).

Wir setzen dann die beiden Punkte in \color{red}mx+n=y ein und lösen dann das lineare Gleichungssystem.


I: m\cdot3+n=5

II: m\cdot8+n=20


1. Wir stellen die erste Gleichung nach n um:


I: m\cdot 3+n=5

I: n=5-m\cdot 3


2. Wir setzen diese in die zweite Gleichung ein:


m\cdot 8+5-m\cdot 3=20


3. Nun lösen wir die Gleichung nach m auf:


5\cdot m+5=20 /-5

5\cdot m=15 /:5

m=3


4. m wird in die Gleichung eingesetzt:


I: m\cdot 3+n=5

3\cdot 3+n=5

9+n=5 /-9

n=-4


Hier ist ein Lernvideo, wo die Zweipunkteform nochmal genauer erklärt wird:


Aufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1: a) Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Geraden durch die Punkte P(4/5) und Q(4/7).

Aufgabe 1: b) Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Geraden durch die Punkte P(5/3) und Q(1/-3).

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