Zwei-Punkte-Form: Unterschied zwischen den Versionen
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Wie kann man aus zwei gegebenen Punkten eine Funktionsgleichung erstellen ? | Wie kann man aus zwei gegebenen Punkten eine Funktionsgleichung erstellen ? | ||
| − | Eine Gerade oder eine Lineare Funktion hat die Formel f(x)=y=mx+ | + | Eine Gerade oder eine Lineare Funktion hat die Formel <math>\color{red}f(x)=y=mx+n</math> . |
Die Variablen m und b sind unbekannt. Um die Variablen zu bestimmen benötigen wir 2 Punkte. Somit werden zwei Gleichungen aufgestellt, man erhält ein lineares Gleichungssystem, welches gelöst wird, um die Parameter m und b zu bestimmen. | Die Variablen m und b sind unbekannt. Um die Variablen zu bestimmen benötigen wir 2 Punkte. Somit werden zwei Gleichungen aufgestellt, man erhält ein lineares Gleichungssystem, welches gelöst wird, um die Parameter m und b zu bestimmen. | ||
Dies zeigen wir anhand verschiedener Beispiele: | Dies zeigen wir anhand verschiedener Beispiele: | ||
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Beispiel 1: | Beispiel 1: | ||
| − | Die Gerade durch die Punkte A (0/3) = <math>(x_0/y_0)</math> und B (2/0) = <math>(x_1/y_1)</math> hat die Gleichung <math>f(x)=m(x-x_0)+y_0</math> mit: | + | Die Gerade durch die Punkte A (0/3) = <math>\color{green}(x_0/y_0)</math> und B (2/0) = <math>\color{green}(x_1/y_1)</math> hat die Gleichung <math>\color{blue}f(x)=m(x-x_0)+y_0</math> mit: |
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| − | <math>m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}</math> | + | <math>\color{green}m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}</math> |
<math>m=\frac{0-3}{2-0}</math> | <math>m=\frac{0-3}{2-0}</math> | ||
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| − | <math>f(x)=m(x-x_0)+y_0</math> | + | <math>\color{blue}f(x)=m(x-x_0)+y_0</math> |
<math>f(x)=-1,5(x-0)+3</math> | <math>f(x)=-1,5(x-0)+3</math> | ||
<math>f(x)=-1,5x+3</math> | <math>f(x)=-1,5x+3</math> | ||
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| + | {{Merke|Hier ist man schon fertig. Denn die Geradengleichung ist nun <math>f(x)=-1,5x+3</math>. Man muss also nicht mehr weiterrechnen. Klar? --[[Benutzer:A.Hoffkamp|A.Hoffkamp]] ([[Benutzer Diskussion:A.Hoffkamp|Diskussion]]) 10:25, 19. Mär. 2014 (CET)}} | ||
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<math>f(x)=-1,5x+3 /-3</math> | <math>f(x)=-1,5x+3 /-3</math> | ||
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Wir haben die beiden Punkte P(3/5) und Q(8/20). | Wir haben die beiden Punkte P(3/5) und Q(8/20). | ||
| − | Wir setzen dann die beiden Punkte in <math>mx+n=y</math> ein und lösen dann das lineare Gleichungssystem. | + | Wir setzen dann die beiden Punkte in <math>\color{red}mx+n=y</math> ein und lösen dann das lineare Gleichungssystem. |
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<math>n=-4</math> | <math>n=-4</math> | ||
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| + | Hier ist ein Lernvideo, wo die Zweipunkteform nochmal genauer erklärt wird: | ||
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== Aufgaben mit Lösungen == | == Aufgaben mit Lösungen == | ||
| − | '''Aufgabe 1:''' Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Geraden | + | '''Aufgabe 1:''' |
| + | a) Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Geraden durch die Punkte P(4/5) und Q(4/7). | ||
<popup name="Lösung"> | <popup name="Lösung"> | ||
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Gesucht: Die Formel <math>f(x)= mx+n</math> | Gesucht: Die Formel <math>f(x)= mx+n</math> | ||
| − | Rechung: <math>m = f( | + | Rechung: <math>m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}</math> |
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| + | <math>m=\frac{7-5}{4-4}</math> | ||
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| + | <math>m=2</math> | ||
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| + | <math>f(x)=m(x-x_0)+y_0</math> | ||
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| + | <math>f(x)=2(x-4)+5</math> | ||
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| + | <math>f(x)=2x-8+5</math> | ||
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| + | <math>f(x)=2x-3</math> | ||
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| + | '''Aufgabe 1:''' b) Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Geraden durch die Punkte P(5/3) und Q(1/-3). | ||
| + | <popup name="Lösung"> | ||
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| + | Gegeben: P(5/3), Q(1/-3) | ||
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| + | Gesucht:Die Formel <math>f(x)= mx+n</math> | ||
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| + | Rechung: <math>m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}</math> | ||
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| + | <math>m=\frac{-3-3}{1-5}</math> | ||
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| + | <math>m=1,2</math> | ||
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| + | <math>f(x)=m(x-x_0)+y_0</math> | ||
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| + | <math>f(x)=1,2(x-5)+3</math> | ||
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| + | <math>f(x)=1,2x-6+3</math> | ||
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| + | <math>f(x)=1,2x-3</math> | ||
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Aktuelle Version vom 19. März 2014, 10:25 Uhr
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Inhaltsverzeichnis |
Funktionsgleichung erstellen
Wie kann man aus zwei gegebenen Punkten eine Funktionsgleichung erstellen ?
Eine Gerade oder eine Lineare Funktion hat die Formel 
.
Die Variablen m und b sind unbekannt. Um die Variablen zu bestimmen benötigen wir 2 Punkte. Somit werden zwei Gleichungen aufgestellt, man erhält ein lineares Gleichungssystem, welches gelöst wird, um die Parameter m und b zu bestimmen.
Dies zeigen wir anhand verschiedener Beispiele:
Beispiel 1:
Die Gerade durch die Punkte A (0/3) = 
und B (2/0) = 
hat die Gleichung 
mit:
Lösung:
 Merke
Hier ist man schon fertig. Denn die Geradengleichung ist nun |
Noch eine Möglichkeit aus zwei Punkten eine Geradengleichung zu bestimmen, ist es zunächst die Koordinaten der Punkte P und Q in die Geradengleichung einzusetzen. Daraus erhalten wir ein lineares Gleichungssystem. Aus diesem können wir m und n berechnen.
Beispiel: So geht man vor
Wir haben die beiden Punkte P(3/5) und Q(8/20).
Wir setzen dann die beiden Punkte in 
ein und lösen dann das lineare Gleichungssystem.
1. Wir stellen die erste Gleichung nach n um:
2. Wir setzen diese in die zweite Gleichung ein:
3. Nun lösen wir die Gleichung nach m auf:
4. m wird in die Gleichung eingesetzt:
Hier ist ein Lernvideo, wo die Zweipunkteform nochmal genauer erklärt wird:
Aufgaben mit Lösungen
Aufgabe 1: a) Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Geraden durch die Punkte P(4/5) und Q(4/7).
Aufgabe 1: b) Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Geraden durch die Punkte P(5/3) und Q(1/-3).
