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In den ersten drei Zirkeln haben wir Folgen von Zahlen behandelt. Hier soll der Inhalt der ersten Zirkel systematisch zusammengefasst werden und eventuelle offene Fragen geklärt werden.
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In den ersten drei Zirkeln haben wir Zahlenfolgen von Zahlen behandelt. Hier gibt es eine kleine Zusammenfassung der des Inhalts der ersten Zirkel. Im Zirkel offen gebliebene Fragen können hier ergänzt und geklärt werden.
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Was ist eigentlich eine Zahlenfolge <math>a_n</math>?
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==Was sind Zahlenfolgen?==
 
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Eine Zahlenfolge ist ein Objekt, bei dem jeder natürlichen Zahl eine (relle) Zahl zugeordnet wird:
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Eine Zahlenfolge ist ein Objekt, bei dem jeder natürlichen Zahl (<math>$n=0,1,2,\ldots$</math> bzw.<math>$n=1,2,3,\ldots$</math>) eine (reelle) Zahl zugeordnet wird:
 
<math>n\mapsto a_n </math><br />
 
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Es gibt verschiedene Arten von Zahlenfolgen.<br /><br />
 
Es gibt verschiedene Arten von Zahlenfolgen.<br /><br />
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Beispiel für eine Zahlenfolge: <math> a_n</math>: 2, 4, 16, 256, ...
 
Beispiel für eine Zahlenfolge: <math> a_n</math>: 2, 4, 16, 256, ...
  
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Das Problem beim auflisten einer Folge ist, das man sie nicht unendlich auflisten kann und sie deshalb nicht eindeutig ist. Um eine Folge eindeutig zu beschreiben nutzt man rekursive oder explizte Vorschriften.
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Das Problem beim Auflisten einer Folge ist, dass man sie nicht unendlich auflisten kann und sie deshalb nicht eindeutig ist. Um eine Folge eindeutig zu beschreiben, nutzt man rekursive oder explizite Vorschriften.
 
* Eine rekursive Vorschrift beschreibt jedes Glied der Folge in Abhängigkeit von seinem Vorgänger und ist deshalb oft sehr einfach zu finden.
 
* Eine rekursive Vorschrift beschreibt jedes Glied der Folge in Abhängigkeit von seinem Vorgänger und ist deshalb oft sehr einfach zu finden.
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<math>a_n=(a_n_-_1)^2</math> <math>;</math><math>a_1=1</math>
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* Explizite Vorschriften sind meist schwere zu finden das sie jedes Glied nur in Abhängigkeit von seiner Position <math>(n)</math> in der Folge beschreiben. Sie haben aber den Vorteil das man zur Berechnung der Zahl nicht alle ihre Vorgänger ausrechnen muss.
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* Explizite Vorschriften sind meist schwerer zu finden, da sie jedes Glied nur in Abhängigkeit von seiner Position <math>(n)</math> in der Folge beschreiben. Sie haben aber den Vorteil, dass man zur Berechnung der Zahl nicht alle ihre Vorgänger ausrechnen muss.
 
<math>a_n=2^2^n</math>
 
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Typische Fragen im Zusammenhang mit Folgen sind:
 
Typische Fragen im Zusammenhang mit Folgen sind:
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* Wie findet man eine Formel bzw. wie kommt man von einer rekursiven zu einer expliziten Vorschrift
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* Wie findet man eine Formel bzw. wie kommt man von einer rekursiven zu einer expliziten Vorschrift?
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Oft begegnet man der Aufgabe: Setze die Zahlenfolge fort! Wie lautet das nächste Glied der Folge?
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Manch einer mag da sagen: 8,13,21! Denn jedes Folgenglied ist genau die Summer seiner zwei Vorgänger (die Fibonacci-Folge also). Andere denken aber vielleicht: Das sind alle natürlichen Zahlen, die keine echten Teiler besitzen, also 1 und alle Primzahlen. Dann sind die nächsten Glieder natürlich 7,11,13.
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Hier liegt genau das Problem: Aus einer endlichen Anzahl von Elementen lässt sich über das System, das dahintersteckt, mutmaßen - mit Sicherheit kann man es aber nicht sagen. Man kann also aus endlichen vielen Daten nichts über unendlich viele Daten ableiten.
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Ein schönen Artikel dazu ist übrigens im [http://www.spektrum.de/alias/dachzeile/falsche-fibonacci-folgen/822675 Spektrum der Wissenschaft 11/1995] erschienen, auch zu lesen im empfehlenswerten Spektrum-Sonderheft Mathematische Unterhaltungen II (Dossier 2/2003).
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Mathematisch exakt.
  
 
==Arten von Zahlenfolgen==
 
==Arten von Zahlenfolgen==
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* Bei arithmetischen Folgen erster Ordnung ist die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant.
 
* Bei arithmetischen Folgen erster Ordnung ist die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant.
 
Zum Beispiel:  <math>a_n</math>: 2, 5, 8, 11, 14, ...<br />
 
Zum Beispiel:  <math>a_n</math>: 2, 5, 8, 11, 14, ...<br />
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'''allgemein:''' Differenz <math>d</math><br />
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'''allgemein:''' Differenz <math>d</math> <math>;</math> <math>d=a_1-a_0</math><br />
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:::<math>a_n=a_n_-_1+d</math><math>;</math><math>a_0</math><br /><br />
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:::<math>a_n=a_0+n*d</math><br />
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:::<math>a_n=a_0+n\cdot d</math><br />
  
  
 
* Im Gegensatz zu aritmetischen Folgen erster Ordnung ist bei arithmetischen Folgen zweiter Ordnung die Differenz der Differenz zwischen den einzelnen Gliedern konstant.
 
* Im Gegensatz zu aritmetischen Folgen erster Ordnung ist bei arithmetischen Folgen zweiter Ordnung die Differenz der Differenz zwischen den einzelnen Gliedern konstant.
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Ein Beispiel dafür sind die Quadratzahlen: <math>\begin{array}[ccc] 0&1&4&9&16&25&\ldots\\
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Ein Beispiel dafür sind die Quadratzahlen: <math>\begin{array}{rrr} 0&1&4&9&16&25&\ldots\\
 
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2&2&2&2&\ldots\end{array}</math>
 
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Auch für arithmetische Folgen zweiter Ordnung gibt es eine Formel:
 
Auch für arithmetische Folgen zweiter Ordnung gibt es eine Formel:
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<math>a_n=a_0+n(a_1-a_0)+(a_2-2a_1+a_0)*\frac{n(n-1)}{2}</math><br />
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<math>a_n=a_0+n(a_1-a_0)+(a_2-2a_1+a_0)\cdot\frac{n(n-1)}{2}</math><br />
 
[[Herleitung der Formel für arithmetische Folgen zweiter Ordnung|Herleitung]]
 
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* Es gibt auch arithmetische Folgen höherer Ordnung nach dem Prinzip der ersten und zweiten Ordnung. Ein Beispiel für die dritte Ordnung sind die Kubikzahlen.<br />
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===Geometrische Folgen===
  
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* Es gibt auch arithmetische Folgen höherer Ordnung nach dem Prinzip der ersten und zweiten Ordnung. Ein Beispiel für die dritte Ordnung sind die Kubikzahlen.
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Bei geometrischen Folgen sind die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder gleich.<br />
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<math>a_n</math>: 2, 6, 18, 54, 162, ...<br /><br />
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<math>a_n=a_{n-1}\cdot3</math><math>;</math><math>a_0=2</math><br /><br />
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<math>a_n=2\cdot3^n</math>
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===Geometrische Folgen===
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Aktuelle Version vom 30. August 2012, 13:19 Uhr

In den ersten drei Zirkeln haben wir Zahlenfolgen von Zahlen behandelt. Hier gibt es eine kleine Zusammenfassung der des Inhalts der ersten Zirkel. Im Zirkel offen gebliebene Fragen können hier ergänzt und geklärt werden.

Baustelle.png

Inhaltsverzeichnis

Was sind Zahlenfolgen?

Eine Zahlenfolge ist ein Objekt, bei dem jeder natürlichen Zahl ($n=0,1,2,\ldots$ bzw.$n=1,2,3,\ldots$) eine (reelle) Zahl zugeordnet wird: n\mapsto a_n
Es gibt verschiedene Arten von Zahlenfolgen.

Beispiel für eine Zahlenfolge: a_n: 2, 4, 16, 256, ...

Das Problem beim Auflisten einer Folge ist, dass man sie nicht unendlich auflisten kann und sie deshalb nicht eindeutig ist. Um eine Folge eindeutig zu beschreiben, nutzt man rekursive oder explizite Vorschriften.

  • Eine rekursive Vorschrift beschreibt jedes Glied der Folge in Abhängigkeit von seinem Vorgänger und ist deshalb oft sehr einfach zu finden.

a_n=(a_{n-1})^2 ;a_1=1

  • Explizite Vorschriften sind meist schwerer zu finden, da sie jedes Glied nur in Abhängigkeit von seiner Position (n) in der Folge beschreiben. Sie haben aber den Vorteil, dass man zur Berechnung der Zahl nicht alle ihre Vorgänger ausrechnen muss.

Fehler beim Parsen(PNG-Konvertierung fehlgeschlagen. Bitte die korrekte Installation von LaTeX und dvipng überprüfen (oder dvips + gs + convert)): a_n=2^2^n




Typische Fragen im Zusammenhang mit Folgen sind:

  • Wie findet man eine Formel bzw. wie kommt man von einer rekursiven zu einer expliziten Vorschrift?
  • Gibt es gemeinsame Teiler?

Fortsetzen endlicher Folgen

Oft begegnet man der Aufgabe: Setze die Zahlenfolge fort! Wie lautet das nächste Glied der Folge?

Beispiel: Wie lauten die nächsten drei Glieder der Folge 1,1,2,3,5,....

Manch einer mag da sagen: 8,13,21! Denn jedes Folgenglied ist genau die Summer seiner zwei Vorgänger (die Fibonacci-Folge also). Andere denken aber vielleicht: Das sind alle natürlichen Zahlen, die keine echten Teiler besitzen, also 1 und alle Primzahlen. Dann sind die nächsten Glieder natürlich 7,11,13.

Hier liegt genau das Problem: Aus einer endlichen Anzahl von Elementen lässt sich über das System, das dahintersteckt, mutmaßen - mit Sicherheit kann man es aber nicht sagen. Man kann also aus endlichen vielen Daten nichts über unendlich viele Daten ableiten. Ein schönen Artikel dazu ist übrigens im Spektrum der Wissenschaft 11/1995 erschienen, auch zu lesen im empfehlenswerten Spektrum-Sonderheft Mathematische Unterhaltungen II (Dossier 2/2003).

Mathematisch exakt.

Arten von Zahlenfolgen

Arithmetische Folgen

  • Bei arithmetischen Folgen erster Ordnung ist die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant.

Zum Beispiel: a_n: 2, 5, 8, 11, 14, ...
allgemein: Differenz d ; d=a_1-a_0

a_n=a_{n-1}+d ; a_0

a_n=a_0+n\cdot d


  • Im Gegensatz zu aritmetischen Folgen erster Ordnung ist bei arithmetischen Folgen zweiter Ordnung die Differenz der Differenz zwischen den einzelnen Gliedern konstant.

Ein Beispiel dafür sind die Quadratzahlen: Fehler beim Parsen(PNG-Konvertierung fehlgeschlagen. Bitte die korrekte Installation von LaTeX und dvipng überprüfen (oder dvips + gs + convert)): \begin{array}{rrr} 0&1&4&9&16&25&\ldots\\ 1&3&5&7&9&\ldots\\ 2&2&2&2&\ldots\end{array}


Auch für arithmetische Folgen zweiter Ordnung gibt es eine Formel: a_n=a_0+n(a_1-a_0)+(a_2-2a_1+a_0)\cdot\frac{n(n-1)}{2}
Herleitung

  • Es gibt auch arithmetische Folgen höherer Ordnung nach dem Prinzip der ersten und zweiten Ordnung. Ein Beispiel für die dritte Ordnung sind die Kubikzahlen.

Geometrische Folgen

Bei geometrischen Folgen sind die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder gleich.
a_n: 2, 6, 18, 54, 162, ...

a_n=a_{n-1}\cdot3;a_0=2

a_n=2\cdot3^n

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