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* Es gibt auch arithmetische Folgen höherer Ordnung nach dem Prinzip der ersten und zweiten Ordnung. Ein Beispiel für die dritte Ordnung sind die Kubikzahlen.
 
* Es gibt auch arithmetische Folgen höherer Ordnung nach dem Prinzip der ersten und zweiten Ordnung. Ein Beispiel für die dritte Ordnung sind die Kubikzahlen.
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===Geometrische Folgen===
 
===Geometrische Folgen===

Version vom 25. August 2012, 09:37 Uhr

In den ersten drei Zirkeln haben wir Folgen von Zahlen behandelt. Hier soll der Inhalt der ersten Zirkel systematisch zusammengefasst werden und eventuelle offene Fragen geklärt werden.

Was ist eigentlich eine Zahlenfolge a_n?

Hey, hier kann man auch Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\LaTeX“): \LaTeX -Befehle tippen!

Baustelle.png

Inhaltsverzeichnis


Was sind Zahlenfolgen?

Eine Zahlenfolge ist ein Objekt, bei dem jeder natürlichen Zahl eine (reelle) Zahl zugeordnet wird: n\mapsto a_n
Es gibt verschiedene Arten von Zahlenfolgen.

Beispiel für eine Zahlenfolge: a_n: 2, 4, 16, 256, ...

Das Problem beim Auflisten einer Folge ist, dass man sie nicht unendlich auflisten kann und sie deshalb nicht eindeutig ist. Um eine Folge eindeutig zu beschreiben, nutzt man rekursive oder explizite Vorschriften.

  • Eine rekursive Vorschrift beschreibt jedes Glied der Folge in Abhängigkeit von seinem Vorgänger und ist deshalb oft sehr einfach zu finden.

Fehler beim Parsen(PNG-Konvertierung fehlgeschlagen. Bitte die korrekte Installation von LaTeX und dvipng überprüfen (oder dvips + gs + convert)): a_n=(a_n_-_1)^2 

;a_1=1



  • Explizite Vorschriften sind meist schwerer zu finden, da sie jedes Glied nur in Abhängigkeit von seiner Position (n) in der Folge beschreiben. Sie haben aber den Vorteil, dass man zur Berechnung der Zahl nicht alle ihre Vorgänger ausrechnen muss.

Fehler beim Parsen(PNG-Konvertierung fehlgeschlagen. Bitte die korrekte Installation von LaTeX und dvipng überprüfen (oder dvips + gs + convert)): a_n=2^2^n




Typische Fragen im Zusammenhang mit Folgen sind:

  • Wie findet man eine Formel bzw. wie kommt man von einer rekursiven zu einer expliziten Vorschrift?
  • Gibt es gemeinsame Teiler?


Arten von Zahlenfolgen

Arithmetische Folgen

  • Bei arithmetischen Folgen erster Ordnung ist die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant.

Zum Beispiel: a_n: 2, 5, 8, 11, 14, ...
allgemein: Differenz d ; d=a_1-a_0

Fehler beim Parsen(PNG-Konvertierung fehlgeschlagen. Bitte die korrekte Installation von LaTeX und dvipng überprüfen (oder dvips + gs + convert)): a_n=a_n_-_1+d 
;a_0
a_n=a_0+n*d


  • Im Gegensatz zu aritmetischen Folgen erster Ordnung ist bei arithmetischen Folgen zweiter Ordnung die Differenz der Differenz zwischen den einzelnen Gliedern konstant.

Ein Beispiel dafür sind die Quadratzahlen: Fehler beim Parsen(PNG-Konvertierung fehlgeschlagen. Bitte die korrekte Installation von LaTeX und dvipng überprüfen (oder dvips + gs + convert)): \begin{array}[ccc] 0&1&4&9&16&25&\ldots\\ 1&3&5&7&9&\ldots\\ 2&2&2&2&\ldots\end{array}


Auch für arithmetische Folgen zweiter Ordnung gibt es eine Formel: a_n=a_0+n(a_1-a_0)+(a_2-2a_1+a_0)*\frac{n(n-1)}{2}
Herleitung


  • Es gibt auch arithmetische Folgen höherer Ordnung nach dem Prinzip der ersten und zweiten Ordnung. Ein Beispiel für die dritte Ordnung sind die Kubikzahlen.


Geometrische Folgen

Bei geometrischen Folgen sind die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder gleich.
a_n: 2, 6, 18, 54, 162, ...

Fehler beim Parsen(PNG-Konvertierung fehlgeschlagen. Bitte die korrekte Installation von LaTeX und dvipng überprüfen (oder dvips + gs + convert)): a_n=a_n_-_1*3 ;a_0=2

a_n=2*3^n

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