Platonische Körper

Einführung ins Thema "Platonische Körper"

Die platonischen Körper wurden nach dem antiken griechischen Philosophen Platon benannt. Dieser hatte in seinem Werk Timaios die 5 platonischen Körper beschrieben. Er war allerdings nicht der erste, der sich damit beschäftigt hatte. Bereits die Phytagoreer haben die platonischen Körper untersucht. Der Beweis, dass es nur 5 platonische Körper gibt, wurde von dem Mathematiker Theaitetos erbracht.--Delfin (Diskussion) 10:25, 28. Jan. 2015 (CET)

Was hat es mit dem "Platonischen Weltbild" auf sich?

Geschichte der Platonischen Koerper

Laut vielen Überlieferungen wahr der Hexaeder schon in vielen alten Hochkulturen bekannt. Das Dodekaeder soll erstmals Pythagoras entdeckt haben,der unter dem Namen Pyramide auch schon das Tetraeder kannte. Heron von Alexandria soll die Beyeichnung Tetraeder erst eingeführt haben. Das Oktoeder und das Ikosaeder soll Theaitetos von Athen entdeckt haben. Bereits 300 v. Chr. findet man im Buch von Euklid Beschreibungen und Beweise zu den fünf platonischen Körpern. Später nahm Platon die platonischen Koerper mit in seine Theorie von den vier Elementen. Weit verbreitet war das Dodekaeder als Schmuckobjekt und Glücksbringer der Antike.
In seinem Jugendwerk Mysterium Cosmographicum nutze Johannes Kepler die Eigenschaft der platonischen Körper, dass sämtliche Mittelpunkte der Flächen auf einem Kreis liegen und auch die Eckpunkte der Flächen liegen auf einem Kreis.

Anzahl und Art der Platonischen Körper

Beschreibungen und Abbildungen aller platonischen Körper. Welche Eigenschaften verbinden diese Körper? Was sind konvexe Polyeder?

Eigenschaften der Platonischen Koerper

Um eine für einen platonischen Koerper typische räumliche Ecke zu bilden, muessen in jeder Ecke mindestens drei Vielecke zusammenstossen. Die Gesamtwinkelsumme aller n-Ecke, die in einer Ecke zusammenstossen muss stets kleiner als 360°,da das reguläre Polyeder konvex ist. Es können also nur drei,vier oder fünf regelmäßge Dreiecke, drei Quadrate oder drei regelmäße Fünfecke sein. Diese fünf möglichen Fälle lassen sich aber durch die angegebenen Körper realisieren. --Jacks247 (Diskussion) 10:23, 28. Jan. 2015 (CET)

Duale platonische Körper

Was ist das und wie kann man sich diese vorstellen? Fotos unserer selbst gebauten dualen platonischen Körper.

Man erhält die Dualkörper indem man die Mittelpunkte der einander gegenüberliegenden Flächen der Platonischer Körper verbindet.Dadurch hat der Dualkörper genauso viele Ecken wie der Platonische Körper Flächen und so viele Flächen wie der Pöatonischekörper Ecken. Die Anzahl der Kanten ist beim Platonischen Körper und beim Dualkörper gleich. Delfin (Diskussion) 21:29, 12. Sep. 2014 (CEST)

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  Ikosaeder mit "aufgesetzten" Pyramiden

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  Ikosaeder-Dodekaeder Dualität

Es gibt genau 5 platonische Körper

Beweis des Satzes!

Zunächst muss man beachten, dass die Innenwinkelsumme der Winkel an einer Ecke weniger als 360° betragen darf, weil wäre die Innenwinkelsumme genau 360°, wären die Flächen auf einer Ebene. Überschreitet die Innenwinkelsumme die 360° ensteht keine Ecke.

Daraus kann man schließen, das ein konvexer Polyeder aus regelmäßigen sechsecken nicht möglich ist.Da es nicht möglich ist eine Ecke mit regelmäßigen Sechsecken zu bekommen deren Winkel eine geringere Summe als 360° haben.

Konvexes Polyeder aus regelmäßigen Dreiecken?

Damit eine Ecke aus drei regelmäßigen Dreicecken ensteht, müssen mindestens drei aufeinandertreffen. Die Winkel in einem gleichseitigen Dreieck sind immer 60° groß. Also können maximal 5 regelmäßige Dreiecke aufeinandertreffen, weil es bei 6 regelmäßigen Dreiecken eine Summe von 360° ergibt.

Daraus folgt es kann maximal 3 platonische Körper geben, welche aus regelmäßigen Dreiecken besteht.

Konvexes Polyeder aus regelmäßigen Vierecken?

Auch hier braucht man mindestens drei um eine Ecke enstehen zu lassen. Da sie Winkel eines regelmäßigen Viereckes immer 90° groß sind, können hier maximal 3 aufeinandertreffen, weil würden sich vier Winkel treffen wäre ihre Summe 360°, sie wären auf einer Ebene.

Daraus folgt es kann maximal einen platonischen Körper aus regelmäßigen Vierecken geben.

Konvexes Polyeder aus regelmäßigen Fünfecken?

Auch hier braucht man mindestens drei um eine Ecke enstehen zu lassen. Da sie Winkel eines regelmäßigen Fünfeckes immer 108° groß sind, können auch hier maximal 3 aufeinandertreffen, weil würden sich vier regelmäßige Fünfecke treffen wäre die Summe der Winkel größer als 360°, es würde keine Ecke enstehen.

Daraus folgt, es kann maximal einen platonischen Körper geben, der aus regelmäßigen Fünfecken besteht

Insgesamt kann es also maximal 5 platonische Körper geben--Delfin (Diskussion) 11:11, 28. Jan. 2015 (CET)