Euklid's Beweis über die Unendlichkeit der Primzahlen

Aufgabe Ein berühmter Beweis durch Widerspruch ist ein Beweis von Euklid. Er hat als erster bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Sucht diesen Beweis in Büchern oder im Internet und gebt ihn in eigenen Worten auf dieser Seite wieder. Ziel ist, dass ihr gemeinsam einen gut strukturierten Beweis auf der angelegten Wiki-Seite ausformuliert, der so ausführlich ist, dass er auch für andere gut verständlich ist (z.B. für eure Eltern oder Mitschüler). Ihr habt dafür zwei Wochen Zeit. Viel Spaß!

Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Beweis:

Wenn wir annehmen würden das es eine größte Primzahl n gibt, dann wären alle Primzahlen

2, 3, 5, 7, 11, 13, ... n

wenn wir allerdings alle Primzahlen multiplizieren, also

2 mal 3 mal 5 mal 7 mal ... mal n + 1

das wäre eine primzahl da sie durch keine der Primzahlen teilen lässt, da der Rest 1 bleibt und sie wäre deutlich größer als n.

Allerdings widerspricht das der Behauptung es gäbe eine größte Primzahl n.

QED

Merke Das ist schonmal ein guter Start! Ich frage mich gerade folgendes: Ist das, was du tust $2\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot n +1$ eigentlich ein Konstruktionsverfahren für Primzahlen? Kriege ich dadurch immer eine neue Primzahl? Forscht mal nach und eventuell führt es dazu, dass ihr eure Beweise nochmals ein klein wenig umschreibt! Noch eine Sache, auf die man genauer eingehen könnte/sollte: Primzahlen sind Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind. Warum darf man davon ausgehen, dass eine Zahl, die durch keine Primzahl teilbar ist, selbst Primzahl ist?

Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen

Beweis für die Behauptung: Nehmen wir an es gibt nur die Primzahlen 2,3 und 5 dann wäre 5 die größte Primzahl.
Aber wenn man 2*3*5+1 rechnet, (Ergebnis: 31) kommt in jedem Fall eine neue größere Primzahl raus, weil: würde man rechnen 2*3*5 (Ergebnis 30) wäre es durch alle Primzahlen (in dem Fall 2,3 und 5) teilbar.
Das heißt wenn man +1 rechnet, ist das Ergebnis durch keine Primzahl teilbar und weil alle Zahlen die KEINE Primzahlen sind Vielfache einer Primzahl sind, ist das Ergebnis in jedem Fall eine Primzahl.;-D Qed-man 19:30, 10. Sep. 2012 (CEST)

Genau, das hätte ich auch so gesagt

Der Pfeil oben ist kein Widerspruchspfeil