Zwei-Punkte-Form

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Funktionsgleichung erstellen

Gerade mit Steigung m=-1,5 und y-Achsenabschnitt b=3

Wie kann man aus zwei gegebenen Punkten eine Funktionsgleichung erstellen ?

Eine Gerade oder eine Lineare Funktion hat die Formel f(x)=y=mx+b . Die Variablen m und b sind unbekannt. Um die Variablen zu bestimmen benötigen wir 2 Punkte. Somit werden zwei Gleichungen aufgestellt, man erhält ein lineares Gleichungssystem, welches gelöst wird, um die Parameter m und b zu bestimmen. Dies zeigen wir anhand verschiedener Beispiele:

Beispiel 1: Die Gerade durch die Punkte A (0/3) = $(x_0/y_0)$ und B (2/0) = $(x_1/y_1)$ hat die Gleichung $f(x)=m(x-x_0)+y_0$ mit:

Lösung:

$m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$

$m=\frac{0-3}{2-0}$

$m=\frac{-3}{2}=-1,5$

$f(x)=m(x-x_0)+y_0$

$f(x)=-1,5(x-0)+3$

$f(x)=-1,5x+3$

$f(x)=-1,5x+3 /-3$

$-3=-1,5x /:(-1,5)$

$x=2$

Noch eine Möglichkeit aus zwei Punkten eine Geradengleichung zu bestimmen, ist es zunächst die Koordinaten der Punkte P und Q in die Geradengleichung einzusetzen. Daraus erhalten wir ein lineares Gleichungssystem. Aus diesem können wir m und n berechnen.

Beispiel: So geht man vor

Wir haben die beiden Punkte P(3/5) und Q(8/20).

Wir setzen dann die beiden Punkte in $mx+n=y$ ein und lösen dann das lineare Gleichungssystem.

$I: m\cdot3+n=5$

$II: m\cdot8+n=20$

1. Wir stellen die erste Gleichung nach n um:

$I: m\cdot 3+n=5$

$I: n=5-m\cdot 3$

2. Wir setzen diese in die zweite Gleichung ein:

$m\cdot 8+5-m\cdot 3=20$

3. Nun lösen wir die Gleichung nach m auf:

$5\cdot m+5=20 /-5$

$5\cdot m=15 /:5$

$m=3$

4. m wird in die Gleichung eingesetzt:

$I: m\cdot 3+n=5$

$3\cdot 3+n=5$

$9+n=5 /-9$

$n=-4$

Aufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1: Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Geraden, die durch die Punkte P und Q gehen.

Lösung anzeigen

Lösung verstecken

Gegeben: P(4/5), Q(4/7)

Gesucht: Die Formel $f(x)= mx+n$

Rechung: $m=\frac m = f{x_2} - {x_1}{x_2} - {x_1}$