Euklid's Beweis über die Unendlichkeit der Primzahlen: Unterschied zwischen den Versionen
| Zeile 22: | Zeile 22: | ||
{{Merke|Das ist schonmal sehr schön! Ich frage mich gerade folgendes: Ist das, was du tust <math>2\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot n +1</math> eigentlich ein Konstruktionsverfahren für Primzahlen? Kriege ich dadurch immer eine neue Primzahl? Forscht mal nach und schreibt etwas dazu (zum Beispiel als Bemerkung nach Ende des Beweises)! | {{Merke|Das ist schonmal sehr schön! Ich frage mich gerade folgendes: Ist das, was du tust <math>2\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot n +1</math> eigentlich ein Konstruktionsverfahren für Primzahlen? Kriege ich dadurch immer eine neue Primzahl? Forscht mal nach und schreibt etwas dazu (zum Beispiel als Bemerkung nach Ende des Beweises)! | ||
Noch eine Sache, auf die man genauer eingehen könnte/sollte: Primzahlen sind Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind. Warum darf man davon ausgehen, dass eine Zahl, die durch keine Primzahl teilbar ist, selbst Primzahl ist?}} | Noch eine Sache, auf die man genauer eingehen könnte/sollte: Primzahlen sind Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind. Warum darf man davon ausgehen, dass eine Zahl, die durch keine Primzahl teilbar ist, selbst Primzahl ist?}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen | ||
| + | |||
| + | Beweis für die Behauptung: Nehmen wir an es gibt nur die Primzahlen 2,3 und 5 | ||
| + | dann wäre 5 die größte Primzahl. <br /> | ||
| + | Aber wenn man 2*3*5+1 rechnet, (Ergebnis: 31) kommt in jedem Fall eine neue größere Primzahl raus, | ||
| + | weil: würde man rechnen 2*3*5 (Ergebnis 30) wäre es durch alle Primzahlen (in dem Fall 2,3 und 5) teilbar.<br /> | ||
| + | Das heißt wenn man +1 rechnet, | ||
| + | ist das Ergebnis durch keine Primzahl teilbar und weil alle Zahlen die KEINE Primzahlen sind Vielfache einer Primzahl sind, | ||
| + | ist das Ergebnis in jedem Fall eine Primzahl.;-D | ||
Version vom 10. September 2012, 18:16 Uhr
 Aufgabe
Ein berühmter Beweis durch Widerspruch ist ein Beweis von Euklid. Er hat als erster bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Sucht diesen Beweis in Büchern oder im Internet und gebt ihn in eigenen Worten auf dieser Seite wieder. Ziel ist, dass ihr gemeinsam einen gut strukturierten Beweis auf der angelegten Wiki-Seite ausformuliert, der so ausführlich ist, dass er auch für andere gut verständlich ist (z.B. für eure Eltern oder Mitschüler). Ihr habt dafür zwei Wochen Zeit. Viel Spaß! |
Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis:
Wenn wir annehmen würden das es eine größte Primzahl n gibt, dann wären alle Primzahlen
2, 3, 5, 7, 11, 13, ... n
wenn wir allerdings alle Primzahlen multiplizieren, also
2 mal 3 mal 5 mal 7 mal ... mal n + 1
das wäre eine primzahl da sie durch keine der Primzahlen teilen lässt, da der Rest 1 bleibt und sie wäre deutlich größer als n.
Allerdings widerspricht das der Behauptung es gäbe eine größte Primzahl n.
QED
 Merke
Das ist schonmal sehr schön! Ich frage mich gerade folgendes: Ist das, was du tust |
eigentlich ein Konstruktionsverfahren für Primzahlen? Kriege ich dadurch immer eine neue Primzahl? Forscht mal nach und schreibt etwas dazu (zum Beispiel als Bemerkung nach Ende des Beweises)!
Noch eine Sache, auf die man genauer eingehen könnte/sollte: Primzahlen sind Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind. Warum darf man davon ausgehen, dass eine Zahl, die durch keine Primzahl teilbar ist, selbst Primzahl ist?
Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen
Beweis für die Behauptung: Nehmen wir an es gibt nur die Primzahlen 2,3 und 5
dann wäre 5 die größte Primzahl.
Aber wenn man 2*3*5+1 rechnet, (Ergebnis: 31) kommt in jedem Fall eine neue größere Primzahl raus,
weil: würde man rechnen 2*3*5 (Ergebnis 30) wäre es durch alle Primzahlen (in dem Fall 2,3 und 5) teilbar.
Das heißt wenn man +1 rechnet,
ist das Ergebnis durch keine Primzahl teilbar und weil alle Zahlen die KEINE Primzahlen sind Vielfache einer Primzahl sind,
ist das Ergebnis in jedem Fall eine Primzahl.;-D
