Folgen

In den ersten drei Zirkeln haben wir Folgen von Zahlen behandelt. Hier soll der Inhalt der ersten Zirkel systematisch zusammengefasst werden und eventuelle offene Fragen geklärt werden.

Was ist eigentlich eine Zahlenfolge $a_n$?

Hey, hier kann man auch -Befehle tippen!

Was sind Zahlenfolgen?

Eine Zahlenfolge ist ein Objekt, bei dem jeder natürlichen Zahl eine (relle) Zahl zugeordnet wird:
Es gibt verschiedene Arten von Zahlenfolgen.

Beispiel für eine Zahlenfolge: $a_n$: 2, 4, 16, 256, ...

Das Problem beim auflisten einer Folge ist, das man sie nicht unendlich auflisten kann und sie deshalb nicht eindeutig ist. Um eine Folge eindeutig zu beschreiben nutzt man rekursive oder explizte Vorschriften.

• Eine rekursive Vorschrift beschreibt jedes Glied der Folge in Abhängigkeit von seinem Vorgänger und ist deshalb oft sehr einfach zu finden.

$;$$a_1=1$

• Explizite Vorschriften sind meist schwere zu finden das sie jedes Glied nur in Abhängigkeit von seiner Position $(n)$ in der Folge beschreiben. Sie haben aber den Vorteil das man zur Berechnung der Zahl nicht alle ihre Vorgänger ausrechnen muss.

Typische Fragen im Zusammenhang mit Folgen sind:

• Wie findet man eine Formel bzw. wie kommt man von einer rekursiven zu einer expliziten Vorschrift
• gibt es gemeinsame Teiler
  
  
  

Arten von Zahlenfolgen

Arithmetische Folgen

• Bei arithmetischen Folgen erster Ordnung ist die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant.

Zum Beispiel: $a_n$: 2, 5, 8, 11, 14, ...
allgemein: Differenz $d$

$;$$a_0$

$a_n=a_0+n*d$

• Im Gegensatz zu aritmetischen Folgen erster Ordnung ist bei arithmetischen Folgen zweiter Ordnung die Differenz der Differenz zwischen den einzelnen Gliedern konstant.