Platonische Körper: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 28. Januar 2015, 15:44 Uhr

Einführung ins Thema "Platonische Körper"

Geschichte der Platonischen Koerper

Die platonischen Körper wurden nach dem antiken griechischen Philosophen Platon benannt. Dieser hatte in seinem Werk Timaios die 5 platonischen Körper beschrieben. Er war allerdings nicht der erste, der sich damit beschäftigt hatte. Bereits die Phytagoräer haben die platonischen Körper untersucht. Der Beweis, dass es nur 5 platonische Körper gibt, wurde von dem Mathematiker Theaitetos von Athen erbracht.--Delfin (Diskussion) 10:25, 28. Jan. 2015 (CET)

Laut vielen Überlieferungen war der Hexaeder schon in vielen alten Hochkulturen bekannt. Der Dodekaeder soll erstmals Pythagoras entdeckt haben, der unter dem Namen Pyramide auch schon das Tetraeder kannte. Heron von Alexandria soll die Bezeichnung Tetraeder erst eingeführt haben. Das Oktoeder und das Ikosaeder soll Theaitetos von Athen entdeckt haben. Bereits 300 v. Chr. findet man im Buch von Euklid Beschreibungen und Beweise zum Vorkommen der fünf platonischen Körpern. Später nahm Platon die platonischen Koerper mit in seine Theorie von den vier Elementen auf. Weit verbreitet war das Dodekaeder als Schmuckobjekt und Glücksbringer der Antike.
In seinem Jugendwerk Mysterium Cosmographicum nutze Johannes Kepler die Eigenschaft der platonischen Körper, dass sämtliche Mittelpunkte der Flächen auf einem Kreis liegen und auch die Eckpunkte der Flächen liegen auf einem Kreis.--Jacks247 (Diskussion) 11:14, 28. Jan. 2015 (CET)

Was hat es mit dem "Platonischen Weltbild" auf sich?

Um 400 v. Chr. hat Platon, nachdem die platonischen Körper später auch bennant wurden, in seiner philosophischen Theorie die platonischen Körper eingebaut. Er ordnete sie den vier Elementen Feuer, Wasser, Erde und Luft zu. Erde (Hexaeder), Wasser (Ikosaeder), Feuer (Tetraeder) und Luft (Oktaeder) und das Dodekaeder war das Universum oder der Himmelsäther. Er erklärte, dass alle platonischen Körper zusammen den Menschen einen Eindruck vom „göttlichen“ geben könnten. Die Körper hatten grossen Einfluss auf das damalige Weltbild der Antike und man versuchte mit ihnen die perfekte Welt und das ganze Universum zu beschreiben.--Jacks247 (Diskussion) 11:41, 28. Jan. 2015 (CET)

Anzahl und Art der Platonischen Körper

Beschreibungen und Abbildungen aller platonischen Körper.

Konvexe Polyeder

Ein Körper is konvex, wenn man zwei beliebige Punkte des Körpers auswählt und diese verbindet, egal welche Punkte man auswählt, die gesamte Strecke zwischen den Punkten ist immer Teil des Körpers . Daraus folgt, dass Körper mit Löchern oder Dellen nicht konvex sind.

Ein Polyeder ist ein Körper, welcher eine Oberfläche hat, die aus ebenen Vielecken besteht.--Jacks247 (Diskussion) 13:59, 28. Jan. 2015 (CET)

Eigenschaften der Platonischen Körper

Um eine für einen platonischen Körper typische räumliche Ecke zu bilden, müssen in jeder Ecke mindestens drei Vielecke zusammenstossen. Die Gesamtwinkelsumme aller n-Ecke, die in einer Ecke zusammenstoßen muss stets kleiner als 360°, da das reguläre Polyeder konvex ist und alle Flaechen der platonischen Koerper sind gleichseitig und gleichwinklig( dies fuehrt zur sehr grossen Symetrie der platonischen Koerper, die nur wenige andere Koerper besitzen). Es können also nur drei,vier oder fünf regelmäßge Dreiecke, drei Quadrate oder drei regelmäße Fünfecke sein. Diese fünf möglichen Fälle lassen sich aber durch die angegebenen Körper realisieren. --Jacks247 (Diskussion) 10:23, 28. Jan. 2015 (CET)

Duale platonische Körper

Was ist das und wie kann man sich diese vorstellen? Fotos unserer selbst gebauten dualen platonischen Körper.

Man erhält die Dualkörper indem man die Mittelpunkte der einander gegenüberliegenden Flächen der Platonischer Körper verbindet. Dadurch hat der Dualkörper genauso viele Ecken wie der Platonische Körper Flächen hat und so viele Flächen wie der Platonische Körper Ecken. Die Anzahl der Kanten ist beim Platonischen Körper und beim Dualkörper gleich. Delfin (Diskussion) 21:29, 12. Sep. 2014 (CEST)

• 

  Ikosaeder mit "aufgesetzten" Pyramiden

• 

  Ikosaeder-Dodekaeder Dualität

Vorüberlegungen zum Beweis

Ein regelmässiges n-Eck lässt sich in mehrere Dreiecke aufteilenː

Ein Sechseck lässt sich in vier Dreiecke aufteilen. Ein n-Eck lässt sich in n-2 Dreiecke aufteilen.

→ Daraus folgt, dass sich regelmässige n-Ecke berechnen lassen mit der Formel (n-2)*180°

--Delfin (Diskussion) 14:03, 28. Jan. 2015 (CET)--Jacks247 (Diskussion) 14:39, 28. Jan. 2015 (CET)

Beweis

Es gibt maximal 5 platonische Körper!

Zunächst muss man beachten, dass die Innenwinkelsumme der Winkel an einer Ecke weniger als 360° betragen darf, weil wäre die Innenwinkelsumme genau 360°, wären die Flächen auf einer Ebene. Überschreitet die Innenwinkelsumme die 360° ensteht keine Ecke.

Daraus kann man schließen, das ein konvexes Polyeder aus regelmäßigen Sechsecken nicht möglich ist. Da es nicht möglich ist eine Ecke mit regelmäßigen Sechsecken zu bekommen, deren Winkel eine geringere Summe als 360° haben.

Konvexes Polyeder aus regelmäßigen Dreiecken?

Damit eine Ecke aus drei regelmäßigen Dreiecken ensteht, müssen mindestens drei von diesen aufeinandertreffen. Die Winkel in einem gleichseitigen Dreieck sind immer 60° groß. Also können maximal 5 regelmäßige Dreiecke aufeinandertreffen, weil es bei 6 regelmäßigen Dreiecken eine Summe von 360° ergibt.

Daraus folgt es kann maximal 3 platonische Körper geben, welche aus regelmäßigen Dreiecken besteht.

Konvexes Polyeder aus regelmäßigen Vierecken?

Auch hier braucht man mindestens drei um eine Ecke enstehen zu lassen. Da die Winkel eines regelmäßigen Viereckes immer 90° groß sind, können hier maximal 3 aufeinandertreffen, weil würden sich vier Winkel treffen wäre ihre Summe 360°, folglich wären sie auf einer Ebene.

Daraus folgt es kann maximal einen platonischen Körper aus regelmäßigen Vierecken geben.

Konvexes Polyeder aus regelmäßigen Fünfecken?

Auch hier braucht man mindestens drei um eine Ecke enstehen zu lassen. Da die Winkel eines regelmäßigen Fünfeckes immer 108° groß sind, können auch hier maximal 3 aufeinandertreffen, weil würden sich vier regelmäßige Fünfecke treffen wäre die Summe der Winkel größer als 360°, folglich würde keine Ecke enstehen.

Daraus folgt, es kann maximal einen platonischen Körper geben, der aus regelmäßigen Fünfecken besteht

Insgesamt kann es also maximal 5 platonische Körper geben

Es gibt genau 5 platonische Körper

Fall 1:

Es treffen sich drei regelmäßige Dreiecke an einer Ecke.

Folglich ist die Summe, der dort aufeinandertreffenden Winkel:

3*60°= 180°

→Tetraeder

Fall 2:

Es treffen sich vier regelmäßige Dreicke an einer Ecke.

Folglich ist die Summer der dort aufeinandertreffenden Winkel:

4*60°= 240°

→Oktaeder

Fall 3:

Es treffen sich fünf regelmäßige Dreicke an einer Ecke.

Folglich ist die Summer der dort aufeinandertreffenden Winkel:

5*60°= 300°

→Ikosaeder

Fall 4:

Es treffen sich drei regelmäßige Vierecke an einer Ecke.

Folglich ist die Summer der dort aufeinandertreffenden Winkel:

3*90°= 270°

→Hexaeder

Fall 5:

Es treffen sich drei regelmäßige Fünfecke an einer Ecke.

Folglich ist die Summer der dort aufeinandertreffenden Winkel:

3*108°= 324°

→Dodekaeder

Es gibt genau fünf platonische Körper!--Delfin (Diskussion) 11:11, 28. Jan. 2015 (CET)