Zwei-Punkte-Form

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Inhaltsverzeichnis


Funktionsgleichung erstellen

Gerade mit Steigung m=-1,5 und y-Achsenabschnitt b=3

Wie kann man aus zwei gegebenen Punkten eine Funktionsgleichung erstellen ?

Eine Gerade oder eine Lineare Funktion hat die Formel f(x)=y=mx+b . Die Variablen m und b sind unbekannt. Um die Variablen zu bestimmen benötigen wir 2 Punkte. Somit werden zwei Gleichungen aufgestellt, man erhält ein lineares Gleichungssystem, welches gelöst wird, um die Parameter m und b zu bestimmen. Dies zeigen wir anhand verschiedener Beispiele:


Beispiel 1: Die Gerade durch die Punkte A (0/3) = (x_0/y_0) und B (2/0) = (x_1/y_1) hat die Gleichung f(x)=m(x-x_0)+y_0 mit:


Lösung:


m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}

m=\frac{0-3}{2-0}

m=\frac{-3}{2}=-1,5


f(x)=m(x-x_0)+y_0

f(x)=-1,5(x-0)+3

f(x)=-1,5x+3

f(x)=-1,5x+3   /-3

-3=-1,5x   /:(-1,5)

x=2



Noch eine Möglichkeit aus zwei Punkten eine Geradengleichung zu bestimmen, ist es zunächst die Koordinaten der Punkte P und Q in die Geradengleichung einzusetzen. Daraus erhalten wir ein lineares Gleichungssystem. Aus diesem können wir m und n berechnen.

Beispiel: So geht man vor

Wir haben die beiden Punkte P(3/5) und Q(8/20).

Wir setzen dann die beiden Punkte in mx+n=y ein und lösen dann das lineare Gleichungssystem.


I: m\cdot3+n=5

II: m\cdot8+n=20


1. Wir stellen die erste Gleichung nach n um:


I: m\cdot 3+n=5

I: n=5-m\cdot 3


2. Wir setzen diese in die zweite Gleichung ein:


m\cdot 8+5-m\cdot 3=20


3. Nun lösen wir die Gleichung nach m auf:


5\cdot m+5=20    /-5

5\cdot m=15      /:5

m=3


4. m wird in die Gleichung eingesetzt:


I: m\cdot 3+n=5

3\cdot 3+n=5

9+n=5    /-9

n=-4

Aufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1: Bestimmen Sie den Funktionsterm einer Geraden, die durch die Punkte P und Q gehen.