Übernatürliche Zahlen

Ausgehend von der bekannten Methode der schriftlichen Subtraktion zweier natürlicher Zahlen finden wir - wenn der Subtrahend größer als der Minuend ist - bislang unbekannte Zahlen.

Nachdem wir im

Zirkel am 25.09.2014

solche Zahlen erst einmal entdeckt und eine witzige satirische Slideshow zur wahren Ursache der Finanzkrise angeschaut haben, gilt es nun, diese Zahlen zu beschreiben, mit ihnen zu operieren und Eigenschaften zu charakterisieren. Wir haben festgestellt, dass sich übernatürliche Zahlen addieren, subtrahieren und multiplizieren lassen, Addition und Multiplikation ein neutrales Element besitzen und Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz gelten. Im Raum steht die Frage nach der Division, also nach multiplikativ Inversen. Darüber soll jeder einmal zu Hause nachdenken und im

Zirkel am 02.10.2014

werden wir uns weiteren Fragen der Form "Gilt in den übernatürlichen Zahlen auch...?", "Gibt es in den übernatürlichen Zahlen auch...?" oder "Kann man in den übernatürlichen Zahlen auch...?" widmen - und natürlich auch und vor allem den Dingen, die anders sind, als wir sie von natürlichen, ganzen oder rationalen Zahlen gewohnt sind.

Wir haben nun geklärt, dass genau diejenigen übernatürlichen Zahlen, die auf 1, 3, 7 oder 9 enden, ein multiplikativ Inverses besitzen. Interessant sind bei Inversen natürlicher Zahlen die Ähnlichkeiten zu bekannten Brüchen. Hieraus ergab sich die

Frage: Sind alle periodischen übernatürlichen Zahlen durch einen Bruch darstellbar?

Ähnlich, wie man eine periodische Dezimalzahl in einen gemeinen Bruch umwandelt, kann man auch hier vorgehen und findet als Antwort auf die Frage: Ja. In den übernatürlichen Zahlen sind genau diejenigen rationalen Zahlen enthalten, deren Nenner in der Bruchdarstellung weder durch 5 noch durch 2 teilbar ist, und das sind genau die periodischen übernatürlichen Zahlen.

Im nächsten Zirkel untersuchen wir noch zwei Phänomene, die in den uns gewohnten Zahlbereichen nicht vorkommen.

Zirkel am 09.10.2014

Heute haben wir ein Phänomen untersucht, nämlich die Frage nach Zahlen, die ihr eigenes Quadrat sind. Natürlich sind das 0 und 1, aber noch mehr? Im Bereich der übernatürlichen Zahlen findet man tatsächlich genau zwei weitere, a und b, wenn man sich die Zahldarstellung etwas genauer anschaut und die Multiplikation zweier übernatürlicher Zahlen bewusster versteht. Wir haben bewiesen, dass a und b existieren und dass a+b=1 gilt. a und b sind nicht-periodisch und mit ihrer Hilfe findet man das Lösungstripel (a,b,1) für die "Große-Fermat-Gleichung". Der Große Satz von Fermat ist im Bereich der übernatürlichen Zahlen also falsch.

Zirkel am 16.10.2014

Heute haben wir festgestellt, dass das Produkt von a und b gleich 0 ist. In den übernatürlichen Zahlen gibt es also Nullteiler. Außerdem haben wir geklärt, dass auf 5 bzw. eine gerade Ziffer endende Zahlen tatsächlich durch 5 bzw. 2 teilbar sind und wie diese Division funktioniert (trotz, dass es keine Inversen von 5 und 2 gibt). Wir haben die übernatürlichen Binärzahlen untersucht und festgestellt, dass es hier keine Nullteiler gibt. Die übernatürlichen Binärzahlen bilden also im Gegensatz zum bekannten Binärsystem nicht die gleiche Zahlmenge in nur einer anderen Darstellung, sondern tatsächlich eine andere Menge. Wir haben überlegt, wie man übernatürliche Zahlen ins Binärsystem umschreiben kann, da bekannte Methoden nicht funktionieren, da sie darauf basieren, dass die Zahlen endlich sind. Schließlich haben wir gesehen, dass die gerade Zahl a im Binärsystem gleich 0 ist.

Abschließende Bemerkung:

Die übernatürlichen Binärzahlen entsprechen den ganzen 2-adischen Zahlen. Lässt man für übernatürliche Zahlen Nachkommastellen zu, dann erhält man einen Ring, der isomorph zur direkten Summe der 2-adischen und 5-adischen Zahlen ist. Die Isomorphieabbildung in diese direkte Summe ist einfach "Umschreiben ins 2er- bzw- 5er-System", was auch die Reduktion von a zu 0 erklärt, dass es in den 2-adischen Zahlen keine Nullteiler gibt.

Hier ist noch der Link zu einer witzigen Präsentation, die auch ein wenig Anregung war: Die_wahre_Ursache_der_Finanzkrise.pdf

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