Lineare Funktionen allgemein: Unterschied zwischen den Versionen

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== '''''Was lernt ihr hier?''''' ==
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Hey, hier lernt ihr über die Linearen Funktionen.
 
Hey, hier lernt ihr über die Linearen Funktionen.
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Ihr fragt euch sicherlich wozu ihr lineare Funktionen braucht?!
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Mehrere sind der Meinung, dass man später gar keine linearen Funktionen verwendet aber trotz alldem werden Lineare Funktionen in eurem Leben immer wieder vorkommen. Zum Beispiel dann, wenn ihr einen Handyvertrag macht oder in der Zukunft einen Kredit aufnimmt, müsstet ihr mit Zinsen etc. rechnen können. Und dafür verwendet ihr die lineare Funktion. Natürlich verwendet ihr dabei kein Koordinatensystem aber das macht ihr praktisch im Kopf. Ihr denkt, dass ihr auch keine Kommazahlen verwendet? Oh doch, das tut ihr, denn ein Handyvertrag kann auch 19,99€ oder 24,95€ kosten.
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'''Ein Beispiel zum Handyvertrag:'''
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Die Rechnungssumme ist gleich Grundgebühr => x. Für x setzt man die Anzahl der Gesprächseinheiten ein und die man verbraucht hat. Dies ist eine lineare Funktion (hat in der Realität dann mehr Summanden, je nach den verschiedenen Tarifen). Jeder Tarif entspricht einer linearen Funktion. Damit kann man Fragen wie "ab wieviel Einheiten ist Tarif A günstiger als Tarif B" usw. beantworten.
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== '''''Die Grundlagen der linearen Funktion''''' ==
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Die Normalform der Linearen Funktion hat die Formel <span style="color:#FF0000"> f(x)=mx+n</span>.
 
Die Normalform der Linearen Funktion hat die Formel <span style="color:#FF0000"> f(x)=mx+n</span>.
 
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Die Steigung einer Geraden berechnet man mit der Steigungsformel <math>\color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>.
 
Die Steigung einer Geraden berechnet man mit der Steigungsformel <math>\color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>.
  
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'''Bitte beachtet unser Layout: Fügt ein Inhaltsverzeichnis ein und Überschriften. Vor das Inhaltsverzeichnis kommt ein einführender Satz. Hier steht auch noch zu wenig Information. Wo tauchen lineare Funktionen auf? Wozu benötigt man diese? Habt Ihr gute Links gefunden, die man einfügen könnte?'''--[[Benutzer:A.Hoffkamp|A.Hoffkamp]] ([[Benutzer Diskussion:A.Hoffkamp|Diskussion]]) 11:52, 27. Feb. 2014 (CET)
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Hier habt ihr ein super Lernvideo zu den linearen Funktion:
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== '''''Beispiel Aufgaben''''' ==
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Um rechnen zu können müssen mindestens 2 Punkte gegeben sein!
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'''Aufgabe 1)'''
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Die Gerade f läuft durch die Punkte A(3|1) und B(-6|4), berechne die Steigung (m) und den y-Achsenabschnitt (n).
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'''Ansatz:''' <math>\color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>
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'''Rechnung:''' <span style="color:blue">m =</span> <math> \frac{4-9}{-6-3}</math> = <math> \frac{3}{-9}</math> = <span style="color:blue">-</span> <math>\color{blue}\frac{1}{3}</math>
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'''Gegeben:''' <span style="color:green">A (3|1)</span> und <span style="color:blue">m = -</span> <math>\color{blue}\frac{1}{3}</math>
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'''Ansatz:''' <span style="color:red">y = mx + n</span> (Punkt A und m in die Formel einsetzen)
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'''Rechnung:'''
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'''Ergebnis:''' (m und n in y = mx + n oder f(x) = mx + n einsetzen )
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          f(x) = - <math> \frac{1}{3}</math> x + 2
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'''Aufgabe 2)'''
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Die Gerade g läuft durch die Punkte P (4|4) und Q (4|6), berechne die Steigung (m) und den y- Achsenabschnitt (n).
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'''Ansatz:''' <math>\color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>
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'''Rechnung:''' <span style="color:blue">m =</span> <math> \frac{6-4}{4-4}</math> = <math> \frac{2}{0}</math> = <span style="color:blue">2</span>
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'''Gegeben:''' <span style="color:green">P (4|4)</span> und  <span style="color:blue">m = 2</span>
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'''Ansatz:''' <span style="color:red">y = mx + n</span> (Punkt P und m in die Formel einsetzen)
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'''Rechnung:'''
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              <math> 4 =  2\cdot 4 + n</math>
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                4 = 8 + n | -8
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                <span style="color:orange">-4 = n</span>
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'''Ergebnis:''' (m und n in y = mx + n oder f(x) = mx + n einsetzen )
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          f(x) = 2 x - 4
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'''Aufgabe 3)'''
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Die Gerade h läuft durch die Punkte R (-1|-5) und S (2|4), berechne die Steigung (m) und den y- Achsenabschnitt (n).
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'''Ansatz:''' <math>\color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>
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'''Rechnung:''' <span style="color:blue">m =</span> <math> \frac{4-(-5)}{2-(-1)}</math> = <math> \frac{9}{3}</math> = <span style="color:blue">3</span>
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'''Gegeben:''' <span style="color:green">S(2|4)</span> und  <span style="color:blue">m = 3</span>
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'''Ansatz:''' <span style="color:red">y = mx + n</span> (Punkt S und m in die Formel einsetzen)
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'''Rechnung:'''
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              <math>  4 = 3 \cdot 2 + n</math>
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                4 = 6 + n | -6
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                <span style="color:orange">-2 = n</span>
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'''Ergebnis:''' (m und n in y = mx + n oder f(x) = mx + n einsetzen )
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          f(x) = 3 x - 2

Aktuelle Version vom 6. März 2014, 20:43 Uhr

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Inhaltsverzeichnis


Was lernt ihr hier?

Hey, hier lernt ihr über die Linearen Funktionen. Ihr fragt euch sicherlich wozu ihr lineare Funktionen braucht?! Mehrere sind der Meinung, dass man später gar keine linearen Funktionen verwendet aber trotz alldem werden Lineare Funktionen in eurem Leben immer wieder vorkommen. Zum Beispiel dann, wenn ihr einen Handyvertrag macht oder in der Zukunft einen Kredit aufnimmt, müsstet ihr mit Zinsen etc. rechnen können. Und dafür verwendet ihr die lineare Funktion. Natürlich verwendet ihr dabei kein Koordinatensystem aber das macht ihr praktisch im Kopf. Ihr denkt, dass ihr auch keine Kommazahlen verwendet? Oh doch, das tut ihr, denn ein Handyvertrag kann auch 19,99€ oder 24,95€ kosten.

Ein Beispiel zum Handyvertrag: Die Rechnungssumme ist gleich Grundgebühr => x. Für x setzt man die Anzahl der Gesprächseinheiten ein und die man verbraucht hat. Dies ist eine lineare Funktion (hat in der Realität dann mehr Summanden, je nach den verschiedenen Tarifen). Jeder Tarif entspricht einer linearen Funktion. Damit kann man Fragen wie "ab wieviel Einheiten ist Tarif A günstiger als Tarif B" usw. beantworten.


Die Grundlagen der linearen Funktion

Die Normalform der Linearen Funktion hat die Formel f(x)=mx+n. m ist die Steigung und n ist der Achsenabschnitt der y-Achse. Steht vor dem m ein - , so ist die Steigung negativ ,d.h. die Gerade fällt. Steht vor dem m ein + (wird öfter nicht mitgeschrieben),so ist die Steigung positiv , d.h. die Gerade steigt. Die Steigung einer Geraden berechnet man mit der Steigungsformel \color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.

Hier habt ihr ein super Lernvideo zu den linearen Funktion:

Beispiel Aufgaben

Um rechnen zu können müssen mindestens 2 Punkte gegeben sein!

Aufgabe 1) Die Gerade f läuft durch die Punkte A(3|1) und B(-6|4), berechne die Steigung (m) und den y-Achsenabschnitt (n).

Ansatz: \color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Rechnung: m = \frac{4-9}{-6-3} = \frac{3}{-9} = - \color{blue}\frac{1}{3}

Gegeben: A (3|1) und m = - \color{blue}\frac{1}{3}

Ansatz: y = mx + n (Punkt A und m in die Formel einsetzen)

Rechnung: 

             1 = -  \frac{1}{3} \cdot 3 + n
        
             1 = -  \frac{3}{3} + n
        
             1 = -1 + n  | +1
        
             2 = n

Ergebnis: (m und n in y = mx + n oder f(x) = mx + n einsetzen ) 

         f(x) = -  \frac{1}{3} x + 2

Aufgabe 2) Die Gerade g läuft durch die Punkte P (4|4) und Q (4|6), berechne die Steigung (m) und den y- Achsenabschnitt (n).


Ansatz: \color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Rechnung: m = \frac{6-4}{4-4} = \frac{2}{0} = 2

Gegeben: P (4|4) und m = 2

Ansatz: y = mx + n (Punkt P und m in die Formel einsetzen)

Rechnung: 

               4 =  2\cdot 4 + n
        
               4 = 8 + n | -8
        
               -4 = n

Ergebnis: (m und n in y = mx + n oder f(x) = mx + n einsetzen ) 

         f(x) = 2 x - 4

Aufgabe 3) Die Gerade h läuft durch die Punkte R (-1|-5) und S (2|4), berechne die Steigung (m) und den y- Achsenabschnitt (n).


Ansatz: \color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Rechnung: m = \frac{4-(-5)}{2-(-1)} = \frac{9}{3} = 3

Gegeben: S(2|4) und m = 3

Ansatz: y = mx + n (Punkt S und m in die Formel einsetzen)

Rechnung: 

               4 = 3 \cdot 2 + n
        
               4 = 6 + n | -6

               -2 = n

Ergebnis: (m und n in y = mx + n oder f(x) = mx + n einsetzen ) 

         f(x) = 3 x - 2
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