Lineare Funktionen allgemein

Diese Seite wurde erstellt von Baloglu und Mimosa!??!.

Was lernt ihr hier?

Hey, hier lernt ihr über die Linearen Funktionen. Ihr fragt euch sicherlich wozu ihr lineare Funktionen braucht?! Mehrere sind der Meinung, dass man später gar keine linearen Funktionen verwendet aber trotz alldem werden Lineare Funktionen in eurem Leben immer wieder vorkommen. Zum Beispiel dann, wenn ihr einen Handyvertrag macht oder in der Zukunft einen Kredit aufnimmt, müsstet ihr mit Zinsen etc. rechnen können. Und dafür verwendet ihr die lineare Funktion. Natürlich verwendet ihr dabei kein Koordinatensystem aber das macht ihr praktisch im Kopf. Ihr denkt, dass ihr auch keine Kommazahlen verwendet? Oh doch, das tut ihr, denn ein Handyvertrag kann auch 19,99€ oder 24,95€ kosten.

Ein Beispiel zum Handyvertrag: Die Rechnungssumme ist gleich Grundgebühr => x. Für x setzt man die Anzahl der Gesprächseinheiten ein und die man verbraucht hat. Dies ist eine lineare Funktion (hat in der Realität dann mehr Summanden, je nach den verschiedenen Tarifen). Jeder Tarif entspricht einer linearen Funktion. Damit kann man Fragen wie "ab wieviel Einheiten ist Tarif A günstiger als Tarif B" usw. beantworten.

Die Grundlagen der linearen Funktion

Die Normalform der Linearen Funktion hat die Formel f(x)=mx+n. m ist die Steigung und n ist der Achsenabschnitt der y-Achse. Steht vor dem m ein - , so ist die Steigung negativ ,d.h. die Gerade fällt. Steht vor dem m ein + (wird öfter nicht mitgeschrieben),so ist die Steigung positiv , d.h. die Gerade steigt. Die Steigung einer Geraden berechnet man mit der Steigungsformel $\color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Hier habt ihr ein super Lernvideo zu den linearen Funktion:

Beispiel Aufgaben

Um rechnen zu können müssen mindestens 2 Punkte gegeben sein!

Aufgabe 1) Die Gerade f läuft durch die Punkte A(3|1) und B(-6|4), berechne die Steigung (m) und den y-Achsenabschnitt (n).

Ansatz: $\color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Rechnung: m = $\frac{4-9}{-6-3}$ = $\frac{3}{-9}$ = - $\color{blue}\frac{1}{3}$

Gegeben: A (3|1) und m = - $\color{blue}\frac{1}{3}$

Ansatz: y = mx + n (Punkt A und m in die Formel einsetzen)

Rechnung:

            $1 = -  \frac{1}{3} \cdot 3 + n$
        
            $1 = -  \frac{3}{3} + n$
        
             1 = -1 + n  | +1
        
             2 = n

Ergebnis: (m und n in y = mx + n oder f(x) = mx + n einsetzen )

         f(x) = - $\frac{1}{3}$ x + 2

Aufgabe 2) Die Gerade g läuft durch die Punkte P (4|4) und Q (4|6), berechne die Steigung (m) und den y- Achsenabschnitt (n).

Ansatz: $\color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Rechnung: m = $\frac{6-4}{4-4}$ = $\frac{2}{0}$ = 2

Gegeben: P (4|4) und m = 2

Ansatz: y = mx + n (Punkt P und m in die Formel einsetzen)

Rechnung:

              $4 =  2\cdot 4 + n$
        
               4 = 8 + n | -8
        
               -4 = n

Ergebnis: (m und n in y = mx + n oder f(x) = mx + n einsetzen )

         f(x) = 2 x - 4

Aufgabe 3) Die Gerade h läuft durch die Punkte R (-1|-5) und S (2|4), berechne die Steigung (m) und den y- Achsenabschnitt (n).

Ansatz: $\color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Rechnung: m = $\frac{4-(-5)}{2-(-1)}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

Gegeben: S(2|4) und m = 3

Ansatz: y = mx + n (Punkt S und m in die Formel einsetzen)

Rechnung:

             $4 = 3 \cdot 2 + n$
        
               4 = 6 + n | -6

               -2 = n

Ergebnis: (m und n in y = mx + n oder f(x) = mx + n einsetzen )

         f(x) = 3 x - 2