Lineare Funktionen allgemein: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Merke|Hier muss noch einiges passieren. Tipp: In der Mediothek in Schulbüchern nachschlagen. Klasse 9. Der Aufbau sollte bestehen aus: Einleitender Text ("Was hier zu lernen ist…."), Inhaltsverzeichnis, einzelne Unterpunkte --[[Benutzer:A.Hoffkamp|A.Hoffkamp]] ([[Benutzer Diskussion:A.Hoffkamp|Diskussion]]) 12:36, 29. Jan. 2014 (CET)}}
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Eine Lineare Funktion hat die Formel f(x)=mx+n.
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== '''''Was lernt ihr hier?''''' ==
  
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m ist die Steigung und n ist der Schnittpunkt mit der y-Achse.
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Hey, hier lernt ihr über die Linearen Funktionen.
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Ihr fragt euch sicherlich wozu ihr lineare Funktionen braucht?!
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Mehrere sind der Meinung, dass man später gar keine linearen Funktionen verwendet aber trotz alldem werden Lineare Funktionen in eurem Leben immer wieder vorkommen. Zum Beispiel dann, wenn ihr einen Handyvertrag macht oder in der Zukunft einen Kredit aufnimmt, müsstet ihr mit Zinsen etc. rechnen können. Und dafür verwendet ihr die lineare Funktion. Natürlich verwendet ihr dabei kein Koordinatensystem aber das macht ihr praktisch im Kopf. Ihr denkt, dass ihr auch keine Kommazahlen verwendet? Oh doch, das tut ihr, denn ein Handyvertrag kann auch 19,99€ oder 24,95€ kosten.  
  
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'''Ein Beispiel zum Handyvertrag:'''
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Die Rechnungssumme ist gleich Grundgebühr => x. Für x setzt man die Anzahl der Gesprächseinheiten ein und die man verbraucht hat. Dies ist eine lineare Funktion (hat in der Realität dann mehr Summanden, je nach den verschiedenen Tarifen). Jeder Tarif entspricht einer linearen Funktion. Damit kann man Fragen wie "ab wieviel Einheiten ist Tarif A günstiger als Tarif B" usw. beantworten.
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== '''''Die Grundlagen der linearen Funktion''''' ==
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Die Normalform der Linearen Funktion hat die Formel <span style="color:#FF0000"> f(x)=mx+n</span>.
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Steht vor dem m ein <span style="color:blue">-</span> , so ist die Steigung <span style="color:blue">negativ</span> ,d.h. <span style="color:blue">die Gerade fällt.</span>
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Steht vor dem m ein <span style="color:violet">+</span> (wird öfter nicht mitgeschrieben),so ist die Steigung <span style="color:violet">positiv</span> , d.h. <span style="color:violet">die Gerade steigt.</span>
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Die Steigung einer Geraden berechnet man mit der Steigungsformel <math>\color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>.
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Hier habt ihr ein super Lernvideo zu den linearen Funktion:
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== '''''Beispiel Aufgaben''''' ==
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Um rechnen zu können müssen mindestens 2 Punkte gegeben sein!
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'''Aufgabe 1)'''
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Die Gerade f läuft durch die Punkte A(3|1) und B(-6|4), berechne die Steigung (m) und den y-Achsenabschnitt (n).
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'''Ansatz:''' <math>\color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>
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'''Rechnung:''' <span style="color:blue">m =</span> <math> \frac{4-9}{-6-3}</math> = <math> \frac{3}{-9}</math> = <span style="color:blue">-</span> <math>\color{blue}\frac{1}{3}</math>
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'''Gegeben:''' <span style="color:green">A (3|1)</span> und <span style="color:blue">m = -</span> <math>\color{blue}\frac{1}{3}</math>
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'''Ansatz:''' <span style="color:red">y = mx + n</span> (Punkt A und m in die Formel einsetzen)
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'''Rechnung:'''
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            <math> 1 = -  \frac{1}{3} \cdot 3 + n</math>
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'''Ergebnis:''' (m und n in y = mx + n oder f(x) = mx + n einsetzen )
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          f(x) = - <math> \frac{1}{3}</math> x + 2
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'''Aufgabe 2)'''
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Die Gerade g läuft durch die Punkte P (4|4) und Q (4|6), berechne die Steigung (m) und den y- Achsenabschnitt (n).
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'''Ansatz:''' <math>\color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>
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'''Rechnung:''' <span style="color:blue">m =</span> <math> \frac{6-4}{4-4}</math> = <math> \frac{2}{0}</math> = <span style="color:blue">2</span>
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'''Gegeben:''' <span style="color:green">P (4|4)</span> und  <span style="color:blue">m = 2</span>
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'''Ansatz:''' <span style="color:red">y = mx + n</span> (Punkt P und m in die Formel einsetzen)
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'''Rechnung:'''
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              <math> 4 =  2\cdot 4 + n</math>
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                4 = 8 + n | -8
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'''Ergebnis:''' (m und n in y = mx + n oder f(x) = mx + n einsetzen )
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          f(x) = 2 x - 4
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'''Aufgabe 3)'''
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Die Gerade h läuft durch die Punkte R (-1|-5) und S (2|4), berechne die Steigung (m) und den y- Achsenabschnitt (n).
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'''Ansatz:''' <math>\color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>
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'''Rechnung:''' <span style="color:blue">m =</span> <math> \frac{4-(-5)}{2-(-1)}</math> = <math> \frac{9}{3}</math> = <span style="color:blue">3</span>
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'''Gegeben:''' <span style="color:green">S(2|4)</span> und  <span style="color:blue">m = 3</span>
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'''Ansatz:''' <span style="color:red">y = mx + n</span> (Punkt S und m in die Formel einsetzen)
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'''Rechnung:'''
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              <math>  4 = 3 \cdot 2 + n</math>
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                4 = 6 + n | -6
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                <span style="color:orange">-2 = n</span>
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'''Ergebnis:''' (m und n in y = mx + n oder f(x) = mx + n einsetzen )
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          f(x) = 3 x - 2

Aktuelle Version vom 6. März 2014, 21:43 Uhr

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Inhaltsverzeichnis


Was lernt ihr hier?

Hey, hier lernt ihr über die Linearen Funktionen. Ihr fragt euch sicherlich wozu ihr lineare Funktionen braucht?! Mehrere sind der Meinung, dass man später gar keine linearen Funktionen verwendet aber trotz alldem werden Lineare Funktionen in eurem Leben immer wieder vorkommen. Zum Beispiel dann, wenn ihr einen Handyvertrag macht oder in der Zukunft einen Kredit aufnimmt, müsstet ihr mit Zinsen etc. rechnen können. Und dafür verwendet ihr die lineare Funktion. Natürlich verwendet ihr dabei kein Koordinatensystem aber das macht ihr praktisch im Kopf. Ihr denkt, dass ihr auch keine Kommazahlen verwendet? Oh doch, das tut ihr, denn ein Handyvertrag kann auch 19,99€ oder 24,95€ kosten.

Ein Beispiel zum Handyvertrag: Die Rechnungssumme ist gleich Grundgebühr => x. Für x setzt man die Anzahl der Gesprächseinheiten ein und die man verbraucht hat. Dies ist eine lineare Funktion (hat in der Realität dann mehr Summanden, je nach den verschiedenen Tarifen). Jeder Tarif entspricht einer linearen Funktion. Damit kann man Fragen wie "ab wieviel Einheiten ist Tarif A günstiger als Tarif B" usw. beantworten.


Die Grundlagen der linearen Funktion

Die Normalform der Linearen Funktion hat die Formel f(x)=mx+n. m ist die Steigung und n ist der Achsenabschnitt der y-Achse. Steht vor dem m ein - , so ist die Steigung negativ ,d.h. die Gerade fällt. Steht vor dem m ein + (wird öfter nicht mitgeschrieben),so ist die Steigung positiv , d.h. die Gerade steigt. Die Steigung einer Geraden berechnet man mit der Steigungsformel \color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.

Hier habt ihr ein super Lernvideo zu den linearen Funktion:

Beispiel Aufgaben

Um rechnen zu können müssen mindestens 2 Punkte gegeben sein!

Aufgabe 1) Die Gerade f läuft durch die Punkte A(3|1) und B(-6|4), berechne die Steigung (m) und den y-Achsenabschnitt (n).

Ansatz: \color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Rechnung: m = \frac{4-9}{-6-3} = \frac{3}{-9} = - \color{blue}\frac{1}{3}

Gegeben: A (3|1) und m = - \color{blue}\frac{1}{3}

Ansatz: y = mx + n (Punkt A und m in die Formel einsetzen)

Rechnung: 

             1 = -  \frac{1}{3} \cdot 3 + n
        
             1 = -  \frac{3}{3} + n
        
             1 = -1 + n  | +1
        
             2 = n

Ergebnis: (m und n in y = mx + n oder f(x) = mx + n einsetzen ) 

         f(x) = -  \frac{1}{3} x + 2

Aufgabe 2) Die Gerade g läuft durch die Punkte P (4|4) und Q (4|6), berechne die Steigung (m) und den y- Achsenabschnitt (n).


Ansatz: \color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Rechnung: m = \frac{6-4}{4-4} = \frac{2}{0} = 2

Gegeben: P (4|4) und m = 2

Ansatz: y = mx + n (Punkt P und m in die Formel einsetzen)

Rechnung: 

               4 =  2\cdot 4 + n
        
               4 = 8 + n | -8
        
               -4 = n

Ergebnis: (m und n in y = mx + n oder f(x) = mx + n einsetzen ) 

         f(x) = 2 x - 4

Aufgabe 3) Die Gerade h läuft durch die Punkte R (-1|-5) und S (2|4), berechne die Steigung (m) und den y- Achsenabschnitt (n).


Ansatz: \color{red}m=\frac{y}{x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Rechnung: m = \frac{4-(-5)}{2-(-1)} = \frac{9}{3} = 3

Gegeben: S(2|4) und m = 3

Ansatz: y = mx + n (Punkt S und m in die Formel einsetzen)

Rechnung: 

               4 = 3 \cdot 2 + n
        
               4 = 6 + n | -6

               -2 = n

Ergebnis: (m und n in y = mx + n oder f(x) = mx + n einsetzen ) 

         f(x) = 3 x - 2
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