Heron-Verfahren

Aufgabe Beschreibt das Heron-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Wurzeln anhand von Beispielen

Das Heron-Verfahren funktioniert so:

Kurzinfo

Das Verfahren zur Bestimmung eines Näherungswertes für eine Quadratwurzel geht zurück auf den
Mathematiker Heron von Alexandria, der wahrscheinlich im ersten Jahrhundert nach Christus lebte.
Die Grundidee ist, dass ein Quadrat mit dem Flächeninhalt A die Seitenlänge $\sqrt{ A }$ hat. Ausgehend
von einem Rechteck mit dem Flächeninhalt A werden die Seitenlängen so verändert, dass sich
näherungsweise ein Quadrat ergibt und damit ein Wert für $\sqrt{ A }$.

Bestimmung eines Näherungswertes mit dem Heronverfahren

Als Beispiel bestimmen wir mit dem Heronverfahren einen Näherungswert für $\sqrt{ 5 }$. Da 5> $\sqrt{ 5 }$ ist,
können wir als oberen Näherungswert 5 annehmen. Deuten wir diesen anschaulich als die Länge
eines Rechtecks mit dem Flächeninhalt 5, dann ist dessen Breite 5 : 5 = 1. Dies ist der untere
Näherungswert für die Quadratwurzel.
Den neuen oberen Näherungswert erhalten wir, wenn wir den Mittelwert der beiden vorangehenden
Näherungswerte bilden: $\frac{ 5 + 1 }{ 2 } = 3$
Übersichtlicher wird das Verfahren, wenn wir die Rechenschritte in einer Tabelle aufschreiben.

Schritt	oberer Näherungswert	unterer Näherungswert	Mittelwert
1	5	$\frac{ 5 }{ 5 } = 1$	$\frac{ 5 + 1 }{ 2 } = 3$
2	3	$\frac{ 5 }{ 3 } = 1,6666....$	$\frac{ 3 + 1,6666... }{ 2 } = 2,3333...$
3	2,3333...	$\frac{ 5 }{ 2,3333 } = 2,1428...$	$\frac{ 2,3333... + 2,1428... }{ 2 } = 2,2380...$
4	2,2380...	$\frac{ 5 }{ 2,2380 } = 2,2340...$	$\frac{ 2,2380... + 2,2340... }{ 2 } = 2,2360...$
5	2,2360...	$\frac{ 5 }{ 2,2360 } = 2,2360...$

Schon beim 5. Schritt stimmen die ersten vier Nachkommastellen überein. Das Heronverfahren führt
viel schneller zu einem genauen Näherungswert als das Intervallhalbierungsverfahren.

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